[SHOI2015]聚变反应炉

好久没有搞过树形dp的题了，它对新人很不友好，我就来补一发超详细的题解吧。

一、题目

点此看题
题意
给定一棵树,其中每个号节点如果被点亮,就会对周围相连的节点发出ci格能量,点亮第i个节点需要的能量点数为di。问能点亮整棵树的最小能量花费。
数据范围
对于50%50\%50%的数据，max⁡ci<=1,n<=100000\max{ci}<=1,n<=100000maxci<=1,n<=100000
对于另外50%50\%50%的数据，max⁡ci<=5,n<=2000\max{ci}<=5,n<=2000maxci<=5,n<=2000

二、解法

第一眼看到这个数据范围，觉得特别神奇，我们考虑数据分治。
0x01 贪心
先来考虑第一个范围，因为此时的ccc只包含0或1，我们考虑c=1c=1c=1的点的点亮顺序。无论怎么点亮，减少的能量花费总量都是一定的（可以自举例子加深理解），所以最优解和顺序无关，我们只需优先点亮c=1c=1c=1的点即可。
0x02 树形dp
第二个范围就没有那么容易了，受贪心的启发，我们考虑点亮顺序。利用树形dp，我们对局部的点亮顺序进行考虑我们定义dp[i][0/1]dp[i][0/1]dp[i][0/1]为对于第iii个节点先染它///它的父亲，并把iii及iii的子树染完的最小花费。
显然答案为dp[1][0]dp[1][0]dp[1][0]（111的父亲不存在，用它统计最优答案）。
现在我们考虑对dpdpdp数组的转移。
由于ccc并不是很大，我们可以把它作为一个维度，为了辅助转移，我们再定义tmp[s]tmp[s]tmp[s]为染完uuu的子树，并且接受了儿子们值为sss的能量传递的最小花费（这里并不用去管uuu是否被染色），我们先遍历完子树，再用滚动数组的形式合并子树的信息，详细操作见下。

memset(tmp,0x3f,sizeof tmp);
tmp[0][0]=0;//初始化
for(int i=f[u];i;i=e[i].next)//枚举每个儿子
{   int v=e[i].v;if(v==fa) continue;cur^=1;//滚动数组，用tmp[cur^1]更新tmp[cur]memset(tmp[cur],0x3f,sizeof tmp[cur]);for(int j=0;j<=sum-c[v];j++)//此时我们可以使用dp[v]{tmp[cur][j+c[v]]=min(tmp[cur][j+c[v]],tmp[cur^1][j]+dp[v][0]);//先点亮vtmp[cur][j]=min(tmp[cur][j],tmp[cur^1][j]+dp[v][1]);//先点亮u}
}

拿到了tmptmptmp之后，更新就要简单一些了，我们可写出如下转移：
dp[u][0]=min(dp[u][0],max(tmp[i],tmp[i]−i+d[u]));dp[u][0]=min(dp[u][0],max(tmp[i],tmp[i]-i+d[u]));dp[u][0]=min(dp[u][0],max(tmp[i],tmp[i]−i+d[u]));
dp[u][1]=min(dp[u][1],max(tmp[i],tmp[i]−i+d[u]−c[fa]));dp[u][1]=min(dp[u][1],max(tmp[i],tmp[i]-i+d[u]-c[fa]));dp[u][1]=min(dp[u][1],max(tmp[i],tmp[i]−i+d[u]−c[fa]));
其中iii是从儿子得到的能量，我们防止能量溢出（即有多余的能量），故取max。

0x3f 代码
作者口胡可能难以理解，更多请看完整版代码，也可以单独向作者提问qwq。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN = 100005;
const int MAXM = 2005;
int read()
{int x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return x*flag;
}
int n,tot,ans,mc,d[MAXN],c[MAXN],f[MAXN];
struct edge
{int v,next;
} e[MAXN*2];
int max(int x,int y)
{if(x<y) return y;return x;
}
int min(int x,int y)
{if(x<y) return x;return y;
}
int dp[MAXM][2],tmp[2][5*MAXM];
void dfs(int u,int fa)
{int sum=0,cur=0;for(int i=f[u]; i; i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==fa) continue;dfs(v,u);sum+=c[v];}memset(tmp,0x3f,sizeof tmp);tmp[0][0]=0;for(int i=f[u]; i; i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==fa) continue;cur^=1;memset(tmp[cur],0x3f,sizeof tmp[cur]);for(int j=0; j<=sum-c[v]; j++){tmp[cur][j+c[v]]=min(tmp[cur][j+c[v]],tmp[cur^1][j]+dp[v][0]);tmp[cur][j]=min(tmp[cur][j],tmp[cur^1][j]+dp[v][1]);}}dp[u][0]=dp[u][1]=0x3f3f3f3f;for(int i=0; i<=sum; i++){dp[u][0]=min(dp[u][0],max(tmp[cur][i],tmp[cur][i]-i+d[u]));dp[u][1]=min(dp[u][1],max(tmp[cur][i],tmp[cur][i]-i+d[u]-c[fa]));}return ;
}
int main()
{n=read();for(int i=1; i<=n; i++)d[i]=read();for(int i=1; i<=n; i++)c[i]=read(),mc=max(mc,c[i]);for(int i=1; i<n; i++){int u=read(),v=read();e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;}if(mc<=1){for(int i=1; i<=n; i++)if(c[i]==1){ans+=d[i];d[i]=0;for(int j=f[i]; j; j=e[j].next)d[e[j].v]--;}for(int i=1; i<=n; i++)if(d[i]>0)ans+=d[i];printf("%d\n",ans);return 0;}dfs(1,0);printf("%d\n",dp[1][0]);return 0;
}