51nod 1376 最长递增子序列的数量（dp、CDQ分治

题意:

N≤5×104的序列,0≤Ai≤109,求LIS的数量N\le5\times10^4的序列, 0\le A_i\le 10^9, 求LIS的数量

分析:

f[i]:以第i个数结尾的LIS的长度,和该长度的LIS数量f[i]:以第i个数结尾的LIS的长度, 和该长度的LIS数量
转移的话,显然f[i].first=max{f[j].first}+1,j<i且a[j]<a[i]转移的话, 显然f[i].first = max\{f[j].first\}+1,j
f[i].second=∑jf[j].second,f[j].first=f[i].first−1f[i].second=\sum_{j}f[j].second,f[j].first=f[i].first-1
我们可以用BIT来优化这个转移,维护≤i的最大长度和对应数量我们可以用BIT来优化这个转移, 维护\le i的最大长度和对应数量

代码:

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//  Created by TaoSama on 2016-02-16
//  Copyright (c) 2016 TaoSama. All rights reserved.
//
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;int n, a[N];using P = pair<int, int>;void getMax(P& x, P y) {if(x.first < y.first) x = y;else if(x.first == y.first) {if((x.second += y.second) >= MOD)x.second -= MOD;}
}struct BIT {int n; P b[N];void init(int _n) {n = _n;for(int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = P(0, 0);}void add(int i, P v) {for(; i <= n; i += i & -i) getMax(b[i], v);}P sum(int i) {P ret(0, 1);for(; i; i -= i & -i) getMax(ret, b[i]);return ret;}
} bit;int main() {
#ifdef LOCALfreopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endifios_base::sync_with_stdio(0);scanf("%d", &n);vector<int> xs;for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%d", a + i);xs.push_back(a[i]);}sort(xs.begin(), xs.end());xs.resize(unique(xs.begin(), xs.end()) - xs.begin());bit.init(xs.size());P ans(0, 0);for(int i = 1; i <= n; ++i) {int x = lower_bound(xs.begin(), xs.end(), a[i]) - xs.begin() + 1;P cur = bit.sum(x - 1);++cur.first;getMax(ans, cur);bit.add(x, cur);}printf("%d\n", ans.second);return 0;
}

当然其实这是个二维偏序问题,一维下标,二维值当然其实这是个二维偏序问题, 一维下标, 二维值
直接cdq分治做就可以了,复杂度多一个log,是O(nlog2n)直接cdq分治做就可以了, 复杂度多一个log, 是O(nlog^2n)
为了避开相等有个小技巧,间隔排序很机智,把可能成为询问的排到了第一个,从知乎学到的@李贝瑀为了避开相等有个小技巧, 间隔排序很机智, 把可能成为询问的排到了第一个, 从知乎学到的@李贝瑀

代码:

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//  Copyright (c) 2016 TaoSama. All rights reserved.
//
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;int n, a[N];using P = pair<int, int>;P f[N]; //LIS length, countvoid getMax(P& x, P y) {if(x.first < y.first) x = y;else if(x.first == y.first) {if((x.second += y.second) >= MOD)x.second -= MOD;}
}int id[N];
bool cmp(int x, int y) {if(a[x] != a[y]) return a[x] < a[y];return x > y;
}void cdq(int l, int r) {if(l == r) return;int m = l + r >> 1;cdq(l, m);for(int i = l; i <= r; ++i) id[i] = i;sort(id + l, id + r + 1, cmp);P maxf(0, 0);for(int i = l; i <= r; ++i) {int idx = id[i];if(idx <= m) getMax(maxf, f[idx]);else {P cur = maxf;++cur.first;getMax(f[idx], cur);}}cdq(m + 1, r);
}int main() {
#ifdef LOCALfreopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endifios_base::sync_with_stdio(0);scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a + i);for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = P(1, 1);cdq(1, n);P ans(0, 0);for(int i = 1; i <= n; ++i) getMax(ans, f[i]);printf("%d\n", ans.second);return 0;
}

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