带有无法检测到的感染者的COVID-19的时变SIR模型

Abstract:

在本文中，我们对COVID-19进行了数学和数值分析。为了预测COVID-19的趋势，我们提出了一个与时间有关的SIR模型，该模型可跟踪时间t处的传输率和恢复率。使用中国权威机构提供的数据，我们得出的一日预测误差几乎不到3％。我们的模型可以预测中国的转折点和确诊病例总数。为了分析不可检测的感染对疾病传播的影响，我们通过考虑两种类型的感染者来扩展我们的模型：可检测的和不可检测的感染者。是否爆发，以2 X 2矩阵的光谱半径为特征。如果R 0> 1，则该矩阵的光谱半径大于1，并且会爆发。我们绘制了一次暴发的相变图，表明在2020年3月2日有几个国家处于COVID-19暴发的边缘。为说明社会疏散的有效性，我们分析了一个独立的级联模型，用于疾病传播。配置随机网络。我们展示了两种社会疏远的方法，它们可以导致有效再生产数R e的减少。

Introduction

2019年12月开始，中国武汉首例COVID-19受害者被诊断出患有冠状病毒。在随后的几周内，该病在中国大陆和其他国家广泛传播，引起全球恐慌。该病毒被命名为“ SARS-CoV-2”，其引起的疾病被命名为“ 2019年冠状病毒病（缩写为“ COVID-19”）。根据中国政府的官方声明，到2020年3月2日，已经有80,151人感染了该疾病，并导致2,943人死亡。为了阻止病毒的传播，中国和世界其他国家的政府已经采取了一些策略，例如在整个城市范围内封锁，禁止交通，社区管理，远离社会以及宣传健康教育知识。

与严重急性呼吸系统综合症（SARS）和其他传染病不同，COVID-19的一个有问题的特征是存在无症状感染（症状很轻）。那些无症状的感染并没有意识到其传染性，因此在被发现之前会感染更多的人[1]。在这种情况下，传输速率会急剧增加。根据WHO的最新报告[2]，仅87.9％的COVID-19患者发烧，其中67.7％患有干咳。如果我们使用体温作为检测COVID-19感染病例的手段，那么将无法检测到超过10％的感染者。

由于流行病的最新发展，我们有兴趣为COVID-19解决以下重要问题：

• 是否可以包含COVID-19？常用的措施（例如，整个城市的封锁，交通中断，社区管理和健康教育知识的宣传）是否有效地遏制了COVID-19？

• 如果可以包含COVID-19，该流行病的高峰何时出现，何时结束？

• 无法检测到的感染如何影响疾病的传播？

• 如果不能包含COVID-19，那么为了获得牛群免疫而需要感染的人口比例是多少？

• 社会疏远方法（例如减少人际交往和取消群众集会）在控制COVID-19方面的效果如何？

对于（Q1），我们分析了中国的病例，旨在预测该病毒如何传播。具体而言，我们建议使用时间依赖性易感感染恢复（SIR）模型来分析和预测感染人数和康复人数（包括死亡人数）。在传统的SIR模型中，它具有两个时不变变量：传输速率β和恢复速率γ。传输速率β表示每个人平均每单位时间与随机选择的其他人进行β接触。另一方面，恢复率γ表示处于感染状态的个体以固定的平均率γ恢复或死亡。传统的SIR模型忽略了β和γ的时变特性，太简单了，无法精确有效地预测疾病的趋势。因此，我们建议使用与时间有关的SIR模型，其中传输速率β和恢复速率γ都是时间t的函数。我们的想法是使用机器学习方法来跟踪传输率β（t）和恢复率γ（t），然后使用它们来预测在特定时间t内的感染人数和恢复人数。未来。我们的时变SIR模型可以动态调整关键参数，例如β（t）和γ（t），以适应控制策略的变化，这与文献中现有的SIR和SEIR模型不同，例如， [3]，[4]，[5]，[6]，[7]和[8]。例如，根据我们的模型，我们观察到城市范围内的封锁会大大降低传输速率。大多数用于预测COVID-19的数据驱动和曲线拟合方法，例如[9]，[10]和[11]，似乎都能完美地跟踪数据。但是，他们缺乏对疾病传播的物理见解。此外，他们对2020年2月12日湖北省确诊病例定义的突然变化非常敏感。另一方面，我们的时变SIR模型可以检验中国政府的防疫政策并提供合理的解释。使用中华人民共和国国家卫生委员会（NHC）提供的数据[12]，我们证实，除2020年2月12日外，确诊病例数的一日预测误差几乎不到3％ ，这是由于已确诊病例定义的更改而无法预测的。

对于（Q2），基本复制数R0定义为一个典型的感染者在感染期间[13]，[14]之前在完全易感人群中恢复之前预期的其他感染（继发病例）的预期感染数。常用的指标来检查该疾病是否会成为疾病暴发，以及需要接种多少人口才能根除该疾病。实际上，在任何给定时间，不同比例的人群对任何给定疾病都具有免疫力。为此，有效繁殖数Re（t）用于量化部分易感人群中疾病的瞬时传播[14]。事先了解R0和Re（t）可以帮助政府制定更准确的防疫政策。在经典SIR模型中，R0只是β/γ，因为感染者（平均）需要1 /γ天才能恢复，并且在此期间，它将与（平均）β人接触。在我们的与时间有关的SIR模型中，在时间t处的有效再现数（用Re（t）表示）定义为β（t）/γ（t）。如果Re（t）> 1，则该疾病将呈指数传播，并感染总人口的一定比例。相反，该疾病最终将得到控制。因此，通过观察Re（t）随时间的变化，甚至预测未来的Re（t），我们可以检查某些防疫政策是否有效。使用中华人民共和国国家卫生委员会（NHC）提供的数据[12]，我们可以看到转折点（峰值）（定义为有效繁殖数小于1的日期）预计为2020年2月17日。此外，如果在中国维持当前的传染病控制政策，则该病将在我们（确定性）模型达到顶峰后约6周内结束。在这种情况下，根据我们的（确定性）模型，预计中国确诊病例总数约为80,000例。

对于（Q3），我们将SIR模型扩展为包括两种类型的感染者：可检测到的感染者（1型）和不可检测到的感染者（2型）。感染者的概率为w1（分别为w2），为1型（分别为2），其中w1 + w2 = 1。 1型（分别为2）感染者的透过率β1（分别为β2）和恢复率γ1（分别为γ2）。此模型中的基本复制编号是

R0 =w1β1γ1+w2β2γ2。（1）

实际上，1型感染者的传播率比2型感染者低（因为1型感染者可以被隔离）。对于这种模型，该疾病是否可控制的特征是2×2矩阵的光谱半径。如果该矩阵的光谱半径大于1，则可能会爆发。另一方面，如果小于1，则不会爆发。一个有趣的结果是，如果（1）中的基本再现数R0大于（等于）小于1，则该矩阵的光谱半径大于（等于）小于1。光谱半径等于1的曲线在相变图中被称为渗滤阈值曲线[15]。利用约翰·霍普金斯大学GitHub上2020年1月22日至2020年3月2日的历史数据，我们将研究扩展到其他一些国家，包括日本，新加坡，韩国，意大利和伊朗。我们的数值结果表明，有多个国家（包括韩国，意大利和伊朗）高于渗透阈值曲线，并且这些国家处于2020年3月2日爆发COVID-19的边缘。文献中依赖于流行病的模型（例如，参见著名的tsiR模型[17]，[18]和最新的《科学》杂志[19]），我们的模型进一步考虑了无法检测到的感染者的影响（另请参见评论）在[19]上我们论文的预印本[20]）。奥立弗·怀曼（Oliver Wyman）（著名的全球管理咨询公司之一）引用了我们的时变SIR模型的预印本[20]作为其COVID-19 Pandemic Navigator核心模型白皮书中的两个关键参考之一。 [21]。在那里，它们还包括政府的响应行动以及Google COVID-19社区流动性报告，用于分析无法检测到的感染者的影响。这显示了进一步扩展我们的模型以产生更准确的预测的潜力。

英国首相鲍里斯·约翰逊（Boris Johnson）曾经建议，感染COVID-19并从疾病中康复以实现畜群免疫的个体比例要足够高。为了解决（Q4）中的问题，我们认为畜群免疫力对应于SIR模型中易感人群的减少，并且至少有1-1R0的个体被感染并从中恢复后才能实现畜群免疫力。新型冠状病毒肺炎（COVID-19）：新冠肺炎（COVID-19）：COVID-19。

对于（Q5），我们考虑了两种常用的社会疏远方法：（i）允许每个人保持其人际交往最多达到其正常交往的一小部分，以及（ii）取消群众集会。为了分析社会距离，我们必须考虑社会网络（及其网络结构）。为此，我们考虑在由度数分布pk，k = 0,1,2，…指定的随机网络中疾病传播的独立级联（IC）模型。 IC模型已被广泛用于研究病毒式营销中的影响最大化问题（例如，参见[22]）。在IC模型中，受感染的节点可以一定的传播概率将疾病传播到相邻的易感节点（通过边缘）。反复地继续传播，从长远来看，我们有一个子图，其中包含受感染节点的集合。通过将IC模型中的传播概率与SIR模型中的传输率和恢复率相关联，我们显示出社会疏离的两个结果：（i）社会疏散方法使每个人都可以保持人际交往。平均）其正常接触的一部分a，有效复制数减少a2倍；（ii）对于通过消除边缘数量大于或等于k0的节点来取消质量聚集的社交距离方法，有效复制数减少了∑k0−2k = 0kqk∑∞k = 0kqk，其中qk是pk的过度程度分布。

本文的其余部分安排如下：在第二部分中，我们提出了时变SIR模型。然后，在第三节中，我们将模型扩展到无法检测到感染者的SIR模型。在第四节中，我们考虑了由度数分布指定的随机网络中疾病传播的独立级联模型。在第五部分，我们进行了一些数值实验，以说明我们模型的有效性。在第六节中，我们提出了一些控制COVID-19的讨论和建议。论文总结于第七节。

The Time-dependent SIR Model

A. Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model 易感感染恢复（SIR）模型

在典型的传染病数学模型中，通常会简化病毒与宿主之间的相互作用以及将流行病演变为几种基本疾病状态。最简单的流行病模型之一，称为易感感染恢复（SIR）模型[15]，包括三个状态：易感状态，感染状态和恢复状态。处于易感状态的个体是在时间t尚未患病的人，但如果与感染该病的人接触则可能被感染。感染状态是指在时间t有疾病并且可能感染易感个体的个体（如果他们彼此接触）。恢复状态是指从疾病中康复或死亡并且在时间t不再具有传染性的个体。而且，恢复的个体将不再回到易感状态。从恢复状态计算死亡人数的原因是，从流行病学的角度来看，这基本上是同一回事，无论恢复或死亡对疾病的传播没有太大影响。因此，它们可以有效地从潜在的疾病宿主中消除[23]。用S（t），X（t）和R（t）表示在时间t处的易感人群，感染者和康复者的数量。总结上述SIR模型，我们认为它与COVID-19暴发非常相似，我们将采用SIR模型作为我们的基本模型。

在传统的SIR模型中，它具有两个时不变变量：传输速率β和恢复速率γ。传输速率β表示每个人平均每单位时间与随机选择的其他人进行β接触。另一方面，恢复率γ表示处于感染状态的个体以固定的平均率γ恢复或死亡。传统的SIR模型忽略了β和γ的时变特性。这种假设太简单了，无法精确有效地预测疾病的趋势。因此，我们提出了一个与时间有关的SIR模型，其中传输速率β和恢复速率γ都是时间t的函数。这种与时间有关的SIR模型可以更好地跟踪疾病的传播，控制和预测未来趋势。

Differential Equations for the Time-Dependent SIR Model 时变SIR模型的微分方程

对于传统的SIR模型，三个变量S（t），X（t）和R（t）由以下微分方程控制（例如，参见书籍[15]）：

我们注意到

其中n是总人口。设β（t）和γ（t）为时间t的传输速率和恢复速率。在上述微分方程中用β（t）和γ（t）替换β和γ会产生

三个变量S（t），X（t）和R（t）仍满足（2）。

现在我们简要解释这三个方程的直觉。等式（3）描述了在时间t的易感人数S（t）的差。如果我们假设总人口为n，则随机选择的人处于易感状态的概率为S（t）/ n。因此，处于感染状态的个体每单位时间将平均接触（平均）β（t）S（t）/ n个处于敏感状态的人，这意味着新感染的人数为β（t）S（t） X（t）/ n（因为在时间t处有X（t）个人处于感染状态）。相反，处于易感状态的人数将减少β（t）S（t）X（t）/ n。另外，由于每个处于感染状态的个体都将以γ（t）的速率恢复，因此在时间t处平均有γ（t）X（t）人恢复。如（5）所示，它说明了在时间t的R（t）的差。由于三个变量S（t），X（t）和R（t）仍满足（2），因此我们有

这是从感染状态到感染状态的人数减去从感染状态到恢复状态的人数（参见（4））。

Discrete Time Time-Dependent SIR Model 离散时间与时间有关的SIR模型

由于COVID-19数据会在[12]天后更新，因此我们将（3），（4）和（5）中的微分方程修改为离散的时差方程：

同样，三个变量S（t），X（t）和R（t）仍满足（2）。

在疾病蔓延开始时，确诊病例的数量非常少，大多数人口处于易感状态。因此，为了分析COVID-19的初始阶段，我们假设{S（t）≈n，t≥0}，并进一步简化（7）如下：

根据上面的差异方程式，可以很容易地推导出每天的β（t）和γ（t）。从（8），我们有

在（9）中使用（8）得出

给定某个时期{X（t），R（t），0≤t≤T-1}的历史数据，我们可以测量相应的{β（t），γ（t），0≤t≤T− 2}，方法是使用（10）和（11）。有了以上信息，我们可以使用机器学习方法来预测随时间变化的传输速率和恢复速率。

Tracking Transmission Rate β(t) and Recovering Rate γ(t) by Ridge Regression 通过岭回归跟踪传输速率β（t）和恢复速率γ（t）

在本小节中，我们通过线性系统中常用的有限冲激响应（FIR）滤波器跟踪和预测β（t）和γ（t）。用β^（t）和γ（t）表示预测的传输速率和恢复速率。根据FIR滤波器，它们的预测如下：

其中J和K是两个FIR滤波器的阶数（aj，j = 0,1，…，J和bk，k = 0,1，…，K是这两个FIR滤波器的脉冲响应的系数。

有几种广泛使用的机器学习方法来估计FIR滤波器的脉冲响应系数，例如，普通最小二乘（OLS），正则化最小二乘（即岭回归）和偏最小二乘（PLS）[ 24]。在本文中，我们选择岭回归作为我们的估算方法，可以解决以下优化问题：

其中α1和α2是正则化参数。

Tracking the Number of Infected Persons X^(t) and the Number of Recovered Persons R^(t) of the Time-Dependent SIR Model 跟踪时变SIR模型的感染人数X ^（t）和恢复人数R ^（t）

在本小节中，我们将说明如何使用两个FIR过滤器来跟踪和预测时间依赖性SIR模型中的感染人数和康复人数。给定一段时间的历史数据{X（t），R（t），0≤t≤T-1}，我们首先通过{ 10）和（11）。然后我们求解岭回归（具有（14）和（15）中的目标函数，以及（12）和（13）中的约束）以学习FIR滤波器的系数，即aj，j = 0,1， …，J和bk，k = 0,1，…，K。一旦学习了这些系数，就可以通过（12）和（13）中经过训练的岭回归来预测在时间t = T-1时的β^（t）和γ（t）。

用X ^（t）（分别为R ^（t））表示在时间t处被感染（分别恢复）的预计人数。为了预测在时间t = T时的X ^（t）和R ^{（t），我们只需将（8）和（9）中的β}（t）和γ^（t）替换为β（t）和γ（t）。 ）。这将导致

为了预测t> T的X ^（t）和R ^{（t），我们使用（12）和（13）估计β}（t）和γ^（t）。与（16）和（17）中的类似，我们预测X ^（t）和R ^（t）如下：

算法1中概述了我们的跟踪/预测方法的详细步骤。

Algorithm 1: Tracking Discrete Time Time-dependent SIR Model

输入：{X（t），R（t），0≤t≤T-1}，正则化参数α1和α2，FIR滤波器J和K的阶数，预测窗口W。

输出：{β（t），γ（t），0≤t≤T-2}，{β^（t），γ（t），t≥T-1}和{X ^（t）， R ^（t），t≥T}。

分别使用（11）和（10）测量{β（t），γ（t），0≤t≤T-2}。

使用（14）​​和（15）训练岭回归。

通过（12）和（13）分别估计β^{（T-1）和γ}（T-1）。

分别使用（16）和（17）估算第二天T的感染者X ^（T）和康复者R ^（T）的数量。

while T≤t≤T+W do

• 分别估计（12）和（13）中的β^（t）和γ（t）。
• 分别使用（18）和（19）预测X ^（t + 1）和R ^（t + 1）。
  end while

我们注意到，这种确定性的流行病模型基于X（t）和R（t）的平均场近似。这种近似是大量定律的结果。因此，当X（t）和R（t）相对较小时，平均场近似可能不会像预期的那样精确。在这些情况下，可能必须诉诸于随机流行模型，例如马尔可夫链。

The SIR Model with Undetectable Infected Persons 无法检测到感染者的SIR模型

根据WHO的最新报告[2]，仅87.9％的COVID-19患者发烧，其中67.7％患有干咳。这意味着存在无症状的感染。 [7]和[25]中的最新研究也指出了COVID-19无症状载体的存在。这些人没有意识到自己的传染能力，因此感染了更多的人。在这种情况下，传输速率会急剧增加。如果没有像大规模检测这样的方法来检测那些无症状的感染，那么这些人将无法被发现。

在本文中，无法检测到的感染者被定义为在当前的防疫政策下仍无法检测到或被检测到的感染者。为了考虑到无法检测到的感染者，我们在本节中提出了具有不可检测到的感染者的SIR模型。我们假设有两种类型的感染者。可检测到（具有明显症状）的个体被分类为1型感染者，而未检测到的无症状个体被分类为2型感染者。对于受感染的个人，概率w1为类型1，概率w2为类型2，其中w1 + w2 = 1。此外，这两种类型的感染者具有不同的传播率和康复率，这取决于他们是否接受治疗或隔离。我们将β1（t）和γ1（t）表示为时间t处类型1的传输率和恢复率。同样，β2（t）和γ2（t）是类型2在时间t的传输速率和恢复速率。

带有无法检测到的感染者的SIR模型的控制方程 The Governing Equations for the SIR Model With Undetectable Infected Persons

现在，我们推导两种类型的感染者的SIR模型的控制方程。令X1（t）（分别为X2（t））为在时间t处1型（分别为2型）感染者的数量。类似于II-C小节中的（7），（8）的推导，我们假设{S（t）≈n，t≥0}在流行初期，并将X（t）分为两种类型感染者。我们有以下差分方程式：
其中β1，β2，γ1和γ2是常数。值得注意的是，这些常量也可以与时间相关，就像我们在第二节中所看到的那样。但是，在本节中，我们将它们设置为常量，以关注无法检测到的感染者的影响。以矩阵形式重写（20）和（21）会产生以下矩阵方程式：

其中w2 = 1-w1。令A为上述系统方程式的转移矩阵，即

众所周知（从线性代数开始），如果A的谱半径（特征值的最大绝对值）小于1，则该系统是稳定的。换句话说，X1（t + 1）和X2（t + 1）当t趋于无穷大时，将逐渐收敛到有限常数。在这种情况下，不会爆发。相反，如果光谱半径大于1，则会爆发，并且受感染人数相对于时间t呈指数增长（以光谱半径的速率）。

另外，w1和w2可以进一步以时间相关的形式编写。如果根据（20）和（21）假设γ1=γ2=γ，则可以得出以下表达式：
根据（24），如果假设β1，β2和γ在一段时间内为常数，我们可以测量w1随时间的变化，即

w1和w2之间的比率将随着流行病的进展而随着政府的防疫政策而变化。通常，在颁布新的防疫政策后，该政策将在一段时间内对w1和w2的比率产生重大影响，因此w1通常以阶跃函数的形式出现。

The Basic Reproduction Number 基本生殖编号

为了进一步检查这种系统的稳定性条件，我们让

请注意，R0只是新感染者的基本繁殖数，因为如果感染者属于1型（分别为2型），则可以进一步感染平均β1/γ1（分别为β2/γ2）的人。概率w1（分别为w2）。在下面的定理中，我们证明如果R0 <1则没有爆发，如果R0> 1则有爆发。因此，在这种模型中，（26）中的R0被称为爆发阈值。

Theorem 1:

如果R0 <1，则（23）中A的光谱半径小于1，并且不会爆发该流行病。另一方面，如果R0> 1，则（23）中的A的光谱半径大于1，并且有流行的爆发。

Herd Immunity 牛群免疫

如果有足够多的人对这种疾病具有免疫力，尤其是通过疫苗接种，则牛群免疫是抵抗传染性疾病传播的一种方法。英国首相鲍里斯·约翰逊曾经提出一种有趣的策略，那就是让足够高比例的个体感染COVID-19，并从该疾病中康复以实现畜群免疫。问题是，要获得针对COVID-19的畜群免疫力，需要感染的个体比例是多少？

为了解决这个问题，我们注意到畜群免疫力对应于SIR模型中易感人群的减少。在我们之前的分析中，我们都假设每个人在早期都容易感染COVID-19，因此S（t）/n≈1。为了分析畜群免疫力，我们假设在时间t处有一个随机选择的人易感的概率h。这相当于有百分之一的个体对这种疾病免疫。在这样的假设下，我们有

鉴于（7）中X（t）的差分方程，我们可以重写（20）-（22）来得出牛群免疫的控制方程，如下所示：

与（20）-（22）中的原始控制方程相比，唯一的区别是类型1（分别是类型2）的传输速率从β1变为β1h（分别从β2到β2h）。因此，畜群免疫力有效地将传输速率降低了h倍。作为定理1的直接结果，我们得出以下推论。

Corollary 2: 推论二：

对于由我们的SIR模型建模的传染性疾病，其中两种类型的感染者的R0在（26）中大于1，可以在至少1-h ∗的个体被感染并从该传染性疾病中恢复过来后实现群免疫。在哪里

有关可能的有限免疫的影响及其对COVID-19的牛群免疫的影响的更多讨论，请参考最近的论文[26]。在那儿，作者讨论了在没有疫苗的情况下达到COVID-19牛群免疫阈值的可能后果。特别是，在[26]中指出，医疗资源的枯竭不仅会导致COVID-19死亡率升高，而且会导致全因死亡率增加。

The Independent Cascade (IC) Model for Disease Propagation in Networks 网络中疾病传播的独立级联（IC）模型

我们在上一节中的分析未考虑社交网络的结构如何影响疾病的传播。还有其他广泛使用的策略，例如社会隔离，我们的SIR模型无法对第三节中无法检测到的感染者进行建模。为了考虑网络结构，在本节中，我们考虑用于疾病传播的独立级联（IC）模型。 IC模型先前由Kempe，Kleinberg和Tardos在[22]中针对病毒营销中的影响最大化问题进行了研究。在IC模型中，存在一个由图形G =（V，E）建模的社交网络，其中V是节点集，E是边集。被感染的节点可以一定的传播概率将疾病传播到相邻的易感节点（通过边缘）。由于在我们的模型中有两种类型的感染者，我们用ϕ1（分别为ϕ2）表示类型1（分别为2型）感染节点将疾病传播到感染节点的（立即）邻居的传播概率。一旦相邻节点被感染，它就会以概率w1（分别为w2）成为1型（类型2）感染节点，并且可以继续将疾病传播到其相邻节点。继续传播，因此从长远来看，我们形成了G的子图，其中包含受感染节点的集合。将此子图称为受感染子图。一个有趣的问题是，如何控制疾病的传播，以使即使子节点总数很大，被感染的子图中的子节点总数仍然很小。

The Infected Tree in the Configuration Model 配置模型中的感染树

通常，对于大量人口而言，很难获得确切的网络结构，即网络G的邻接矩阵。但是，可能有可能了解网络的某些特性，尤其是节点的程度分布。配置模型（例如，参见书[15]）是由节点的度分布指定的一族随机网络。在这样的随机网络中，随机选择的节点具有概率为pk的度k。一个节点的边缘随机连接到其他节点的边缘。由于边缘连接是随机的，因此，如果一个子节点跟随被感染节点的边缘将疾病传播到该网络中的其他节点，则被感染子图似乎是一棵树（可能性很高）。树的假设是配置模型最重要的属性之一。配置模型的另一个关键属性是超度分布。沿着连接到该节点的边沿找到一个度数为k + 1的节点的概率为

因此，除了到达结点的边缘以外，还有k个可以传播疾病的边缘。这也是为什么qk被称为超度分布的原因。注意，过量分布qk通常与度分布pk不同。当pk是泊松度分布时，它们是相同的。在这种情况下，配置模型将简化为著名的Erdös-Rényi随机图。

由于受感染的子图是配置模型中的一棵树，因此我们很想知道受感染的树的大小是否有限。我们说，如果被感染节点的被感染树的大小是有限的，则概率为1，则不会爆发。令u1（分别为u2）是类型1（分别为类型2）的被感染树的大小的概率。 ）节点通过其特定邻居中的一个是有限的。然后，

为了看到（38）的直觉，我们注意到邻居被感染或未被感染。它没有以1- 11的概率感染。另一方面，它被感染的概率为probability1。然后，以概率w1（分别为w2），被感染邻居的类型为1（代表类型2）。同样，邻居以概率qk传播k个边缘来传播疾病。从树的假设来看，如果被感染的邻居的类型为1（表示类型2），则这k个边缘全部具有有限的被感染树的概率为uk1（分别为uk2）。 （39）中的方程式来自类似的论点。

与以前的SIR模型的连接

现在，通过指定传播概率ϕ1和ϕ2，我们在第三部分中显示了与SIR模型的连接。

假设随机选择的边的一端是1类节点。然后，从第三节中的SIR模型来看，此类型1节点将平均感染β1/γ1人。由于平均过量度为∑∞k = 0kqk = g’1（1），因此被此类型1节点感染的邻居的平均数量为ϕ1g’1（1）。为了使类型1节点感染第三节中SIR模型中相同的平均节点数，我们有

利用在（45）和（46）中指定的传播概率ϕ1和ϕ2，我们得到以下稳定性结果。

Theorem 3:

对于由配置模型构造的随机网络中的IC模型（用于疾病传播），假设在（45）和（46）中指定了传播概率ϕ1和ϕ2。则被感染树的大小是有限的，概率为1，如果

在这种情况下，不会爆发。

Social Distancing 社交隔离

远离社会是减缓传染病传播的有效方法。社会疏离的一种常见方法是允许每个人的人际交往保持（平均）不超过其正常交往的几分之一（例如，参见[27]，[28]）。在我们的IC模型中，这对应于每个节点以概率1-a随机断开其边缘之一。

如上一节所述，我们让u1（分别为u2）为类型1（分别为类型2）节点的受感染树的大小通过某个特定邻居的概率是有限的概率。然后，

要查看（56），请注意，只有在（i）没有移除连接这两个节点的边缘（概率为a2），并且（ii）疾病通过边缘传播（传播概率ϕ1）。这发生的概率为a2ϕ1。然后，以概率w1（分别为w2），被感染邻居的类型为1（代表类型2）。同样，邻居以概率qk传播k个边缘来传播疾病。从树的假设来看，如果被感染的邻居的类型为1（表示类型2），则这k个边缘全部具有有限的被感染树的概率为uk1（分别为uk2）。 （57）中的方程式来自类似的论点。

与（38）和（39）中的两个方程相比，我们得出结论，这种社会疏离的方法分别将传播概率ϕ1和ϕ2降低到a2ϕ1和a2ϕ2。作为定理3的直接结果，我们得出以下推论。

Corollary 4:

假设社交疏远方法允许每个人的人际交往保持（平均）不超过其正常交往的一小部分。对于由配置模型构造的随机网络中的IC模型（用于疾病传播），如果满足以下条件，则受感染树的大小是有限的，概率为1

在这种情况下，不会爆发。

另一种常用的社会疏远方法是取消群众集会。这种方法旨在消除具有大量人际交往的“超级传播者”的影响。为此，我们考虑疾病控制参数k0，并在我们的IC模型中删除边缘数量大于或等于k0的节点。类似于（38）和（39）的推导，我们有

要查看（59），我们注意到，如果（i）疾病没有通过边缘传播（概率为-1）），（ii）疾病传播，则感染1型病毒的人只会沿着边缘感染有限数量的人。 （iii）疾病通过边缘传播，并且邻近节点仅感染有限数量的人（概率为ϕ1∑k0−k）。 2k = 0qk（w1uk1 + w2uk2））。 （60）的参数类似。

类似于定理3的稳定性结果，对于消除群众聚会的社会疏远方法，我们具有以下稳定性结果。

Theorem 5:

考虑一种社会疏远方法，该方法通过删除边数大于或等于k0的节点来取消大规模聚集。对于由配置模型构造的随机网络中的IC模型（用于疾病传播），假设在（45）和（46）中指定了传播概率ϕ1和ϕ2。则被感染树的大小是有限的，概率为1，如果

数值结果 Numerical Results

Dataset

在本节中，我们将在第二节中使用我们的时间依赖性SIR模型，在第三节中使用无法检测到感染者的SIR模型来分析和预测COVID-19的趋势。为了对COVID-19进行分析和预测，我们从中华人民共和国国家卫生委员会（NHC）每日爆发通知中收集了数据集[12]。 NHC宣布截至前一天24:00的数据。我们收集了2020年1月15日至2020年3月2日确诊病例的数量，康复者的数量以及死亡人数作为我们的数据集。确诊病例定义为具有实时实时逆转录聚合酶链反应（rRT-PCR）结果的个体。值得注意的是，自2020年2月12日起，湖北省已将确诊病例的定义放宽到临床特征，而其他省份则使用与以前相同的定义。

Parameter Setup 参数设置

对于与时间有关的SIR模型，我们将用于预测β（t）和γ（t）的FIR滤波器的阶数设置为3，即J = K = 3。模型的停止标准设置为X（t）≤0。由于2020年1月27日之前的感染人数太少而无法显示出明显的趋势（可能包含噪音），因此我们仅将2020年1月27日之后的数据用作预测β（t）和γ的训练数据（t）。

我们使用scikit-learn库[29]（Python 3的第三方库）来计算ridge回归。预测β（t）和γ（t）的正则化参数分别设置为0.03和10-6。由于传输速率β（t）是非负的，因此如果传输速率β（t）小于0，则将其设置为0。然后，使用算法1预测COVID-19的趋势。

我们注意到，我们的预测模型在产生良好结果方面存在局限性：

• 我们的模型是确定性的流行病模型。它基于X（t）和R（t）的平均场近似。这种近似是大量定律的结果。因此，当X（t）和R（t）相对较小时，平均场近似可能不会像预期的那样精确。在这些情况下，可能必须诉诸于随机流行模型，例如马尔可夫链。我们将其留作我们的未来工作。

• 数据一开始可能非常嘈杂。因此，选择一个好的开始日期来训练岭回归以进行预测非常重要。

• 到2020年3月2日，几个国家的回收率可能尚未显示出明显的趋势。因此，很难预测这些国家的回收率。一种解决方法是使用1/30天的恒定恢复率，这是医学专业人员估计的恢复/死亡中位数。另一种方法是等待恢复率的明确趋势。回收率低，回收率趋势不明的原因是缺乏特定药物和医疗资源不足。请参阅第六节以获取有关此问题的更多讨论。

Time Evolution of the Time-Dependent SIR Model 时变SIR模型的时间演化

在图1中，我们显示了受感染人数和康复人数的时间演变。带有圆圈的实线是2020年3月2日的真实历史数据，带有虚线的实线是我们对未来的预测结果。预测结果表明，这种疾病将在6周内结束，如果中国政府继续实施其控制政策，例如全市范围内的停工和停工和停课，则确诊的病例总数将约为80,000。

COVID-19的与时间相关的SIR模型的时间演化。带有橙色（深绿色）颜色的带圆圈的实线是受感染者的真实人数X（t）（已恢复者R（t）），带有橙色的星形虚线（绿色） ）颜色是预计感染人数X ^（t）（分别是恢复的R ^（t）人）。

在图2中，我们显示了从真实历史数据中测得的β（t）和γ（t）。我们可以看到，β（t）急剧下降，而γ（t）略有上升。这是中国政府试图通过城市范围内的封锁和交通停顿来抑制传输率β（t）的直接结果。另一方面，由于缺乏用于COVID-19的有效药物和疫苗，回收率γ（t）的增长相对较慢。此外，2020年2月12日已确认病例的定义更改，使得与2020年2月11日相关的数据没有参考值。我们用灰色虚线将这些数据点标记为β（t）和γ（t）。

从2020年1月15日到2020年2月19日测得的COVID-19的透射率β（t）和恢复率γ（t）。分别根据（11）和（10）测量两条曲线。

在流行病模型中，一个关键问题是该疾病是否可以控制并且该流行病是否会结束，或者是否存在大流行病会感染总人口n的一定比例。为了回答这个问题，一个常用的度量标准是基本繁殖数R0，它被定义为被感染者在完全易感人群中恢复之前所感染的其他感染的平均数[13]。在经典SIR模型中，R0只是β/γ，因为感染者（平均）需要1 /γ天才能恢复，并且在此期间，它将与（平均）β人接触。在我们的与时间有关的SIR模型中，在时间t处的有效再现数（用Re（t）表示）定义为β（t）/γ（t）。如果Re（t）> 1，则该疾病将呈指数传播，并感染总人口n的一定比例。相反，该疾病最终将得到控制。因此，通过观察Re（t）> 1随时间的变化，甚至预测未来的Re（t）> 1，我们可以检查某些防疫政策是否有效。

在图3中，我们显示了测得的有效再现数Re（t）和预测的有效再现数R ^ e（t）。蓝色圆圈标记的实线是测得的Re（t），紫色星星虚线表示的是预测的R ^ e（t）（自2020年2月15日起）。很明显，Re（t）自2020年1月28日以来已经急剧下降，这表明控制政策在中国有效。更重要的是，它表明转折点是2020年2月17日，当R ^ e（t）<1时。在2020年2月17日之后的第二天，X（t）将呈指数下降，这将导致该病在中国的终结。我们的模型精确地预测，Re（t）将在2020年2月17日提前3天（2020年2月14日）小于1。结果表明，我们的模型对于跟踪β（t）和γ（t）的特征非常有效。

中国COVID-19随时间变化的SIR模型的有效繁殖数Re（t）。基于从2020年1月27日到2020年2月20日的给定数据，蓝色的实心曲线是Re（t），紫色的实心虚线是预测的R ^ e（t ）是根据2020年1月27日至2020年2月15日的数据得出的，红色虚线是有效复制次数的渗透阈值1。

One-Day Prediction 一日预测

为了显示我们模型的精度，我们在图4中展示了第二天的预测结果（一日预测）。其中包含预测的感染人数X ^（t）（橙色星点虚线），预测的康复者人数R ^（t）（绿色星点虚线），以及感染和康复者的实际人数（深橙色和深绿色圆圈标记的实线）。由于已确认病例的定义在2020年2月12日发生更改，因此不可预测的天标记为灰色。预测曲线与实测曲线非常接近（从真实历史数据中获得）。在此图中，我们还标注了2020年3月3日的预计感染人数X ^（t）= 27,433和预计康复人数R ^（t）= 52,785。

感染和康复人数的一日预测。由于已确认病例的定义更改而导致的不可预测点被标记为灰色。带深橙色（分别为绿色）的带圆圈标记的实线是感染者的真实人数X（t）（分别为恢复的个体R（t）），带有淡橙色（分别是绿色）的带星号的虚线）颜色是预测的感染人数X ^（t）（分别是恢复的人数R ^（t））。

我们在图5中进一步检查了我们的预测准确性。除2020年2月1日，2月3日和2020年2月5日的预计恢复人数R ^（t）之外，错误率均在±3％以内。虚线表示由于已确认病例的定义更改而导致的不可预测的点。但是，从2020年2月16日之后的预测结果来看，我们的模型仍然可以继续准确跟踪β（t）和γ（t），并克服了定义更改的影响。

一日预测感染和康复者人数的错误。由于确诊病例的定义于2020年2月12日发生变化而导致的不可预测点被标记为灰色虚线

Basic Reproduction Numbers of Several Other Countries 其他几个国家的基本生殖数量

除了中国的数据集外，我们还从[16]的数据集中测量了多个国家在2020年3月31日的有效繁殖数Re（t）。这显示在表I的最后一列中。由于这些国家/地区已恢复人员的累积人数数据比较嘈杂，因此，我们还显示了在平均恢复1 /γ时间的各种假设下的估计Re（t）。五个国家（包括美国，英国，法国，伊朗和西班牙）的Re（t）值非常高。另一方面，在意大利政府宣布封锁并在2020年3月10日禁止人们聚集之后，意大利似乎已控制了这种疾病的传播。而且，德国和大韩民国都有能力控制疾病的传播。

表I从COVID-19的平均恢复时间（1 /γ）的各种假设下的估计Re（t）和2020年3月31日的实测Re（t）。

The Effects of Type II Infected Persons II型感染者的影响

在本小节中，我们将显示无法检测到的（2型）感染者如何影响这一流行病。尤其是，我们有兴趣解决以下问题：是否存在无法检测到的感染者（2型）是否会引起暴发。

为了进行数值研究，我们需要在（20）-（22）中的差分方程组中固定一些变量。对于1型感染者的传播率（恢复率），即β1（对应γ1），我们将其设置为3月的测得的β（t）= 0.00383（对应γ（t）= 0.08493）。 2020年1月1日在中国其背后的原因是在2020年3月1日之后，在中国发现了1型感染者，并对其进行了治疗和隔离。另外，由于没有用于COVID-19的药物，我们可以假定这两种类型的感染者具有相同的恢复率，即γ2=γ1。鉴于（20）-（22）中的系统方程，仍然有两个自由变量w2和β2，其中w2是感染者为2型的概率，β2为类型2的传播率。

在图6中，我们说明了w2和β2如何影响COVID-19的爆发。这样的图在[15]中被称为相变图。图6中的黑色曲线是当（23）中的转换矩阵A的光谱半径等于1时的曲线。该曲线表示COVID-19的渗透阈值。如果w2和β2落在黑色曲线上方（在橙色区域），则将爆发。相反，如果w2和β2低于黑色曲线（在黄色区域），则不会爆发。如图6所示，我们想指出检测感染者的重要性。只要能够真正检测出90％以上的这些感染者，并对其进行适当的隔离和治疗，即使2型感染者（即β2）的传播率高达2％，也有可能遏制该疾病的蔓延。 0.7。另一方面，在检出率不高的同时，抑制2型感染者的传播率也可以有效地控制疾病。例如，戴着口罩和洗手可以是减少β2的有效防疫机制。

暴发相对于β2和w2的相变图。黑色曲线是渗滤阈值。橙色区域表示疾病将爆发，而黄色区域表示疾病已得到控制。

在以下实验中，我们将研究扩展到其他国家，包括日本，新加坡，韩国，意大利和伊朗。我们从约翰·霍普金斯大学的GitHub [2020]收集了2020年1月22日至2020年3月2日的历史数据。对于这些国家来说，初期的传播率β（t）和恢复率γ（t）（从第二节中的时间依赖SIR模型测得）可以看作是确诊病例数迅速增加的情况。 β2和γ2。这是因为在这段时间里，没有防疫干预措施，并且基本上没有检测到所有感染者。有趣的是，不同的国家可能具有不同的β2和γ2。另一方面，根据WHO的报告，仅87.9％的COVID-19病例发烧[2]。如果我们使用体温作为检测感染者的手段，那么只能检测到87.9％的COVID-19病例。为此，我们将w1 = 87.9％设置为。

根据先前针对中国的研究中指定的β1和γ1，我们根据两个变量β2和γ2在图7中绘制了相变图。同样，黑色曲线是当（23）中的转换矩阵A的光谱半径等于1时的曲线。这种曲线表示COVID-19爆发的渗透阈值。如果β2和γ2落在黑色曲线上方（橙色区域），则将爆发。相反，如果β2和γ2低于黑色曲线（在黄色区域），则不会爆发。图7中标出了确诊病例大的国家，包括日本，新加坡，韩国，意大利和伊朗。从图7中，我们观察到新加坡和日本都低于渗滤阈值。但是日本离渗流阈值已经很近了。另一方面，韩国和意大利都超过了渗滤阈值，并且它们即将在2020年3月2日爆发疫情。这两个国家必须紧急执行防疫政策。毫不奇怪，意大利政府于2020年3月10日宣布封锁，并禁止人们集会。值得一提的是，图中伊朗有两个标记。高于渗漏阈值的人数是未将死亡人数添加到康复者人数中的人数。渗滤阈值以下的另一种是将死亡人数增加到康复者人数中的人数。由于某些未知原因，伊朗的死亡率高于其他国家。高死亡率似乎阻止了伊朗的爆发。

图7。
暴发相对于β2和γ2的相变图。黑色曲线是渗滤阈值。橙色区域表示疾病将爆发，而黄色区域表示疾病已得到控制。

为了表明w1（t）可以随时间发生显着变化以反映政府防疫政策的变化，我们在图8中绘制了2020年2月23日至2020年3月18日南方地区的估计w1（t）朝鲜。使用本节中相同的实验设置，我们将β1，γ1和γ2设置为先前在中国的研究中的测量值，将β2设置为韩国中的测量值。我们将5天设置为一个时间间隔，并利用（25）中的递归公式估算随时间的w1（t）值。在每个时间间隔中，w1是通过使（25）下的残差平方和最小化而获得的[29]。如图8所示，我们可以看到从2020年2月23日开始的前三个时间间隔中的w1显着增加。如果将此结果与《我们的世界在数据中》 [30]提供的数据集进行比较，我们会发现韩国于2020年2月24日开始对公众进行大量的COVID-19测试，并增加了每天进行测试。因此，我们可以推断出像大规模检测这样的防疫政策可以有效地增加w1的发生率，并大大减少无法检测人员的比例。通过以上讨论，我们知道w1（t）可以反映对新的防疫政策的影响。同样，大规模测试对减少无法发现的人员的比例也具有重大影响。

图8。
在韩国，估计的w1是5天间隔的函数。

The Effects of Social Distancing 社会距离的影响

在本小节中，我们显示了通过减少边缘数量大于或等于k0的节点来取消群众聚集的社会疏远方法的数值结果。如定理5所示，有效再现数减少了∑k0-2k = 0kqk∑∞k = 0kqk，其中qk是pk的过量度分布。在本实验中，我们使用[31]从Facebook收集的数据集。该数据集代表艺术家类别的经过验证的Facebook页面（带有蓝色复选标记）。蓝色复选标记表示Facebook已确认某个帐户是其所代表的公众人物，名人或全球品牌的真实存在。网络中的每个节点都代表页面，并且两个节点之间的边缘是彼此相似的。该数据集由50,515个节点和819,306个边组成。其他一些属性如下所示：平均度32.4，最大度1469，直径11和聚类系数0.053。在图9中，我们显示了该数据集的度分布和超度度分布的对数对数图。度分布似乎是指数为1.69（图中的斜率）的（截断的）帕累托分布。

图9。
Facebook数据集的度数分布和超度数分布。

在图10中，我们绘制了缩减比∑k0-2k = 0kqk∑∞k = 0kqk作为k0的函数。该比率在0到1之间，并且以k0单调增加。减少率表示禁止聚会减少相应的Re（t）比率。使用表I最后一列中的Re（t）值（2020年3月31日），我们还显示，防止意大利，美国和韩国爆发的最低k0为63、195和435，分别;此外，受影响的尾巴分布比例分别为13.1％，2.2％和0.4％。特别是，如果取消群众聚集是用于控制美国在2020年3月31日的Re（t）值为12.59的COVID-19的唯一措施，则可以通过“移除”所有节点来防止爆发度大于或等于63（在Facebook数据集中），并且删除可能会影响Facebook数据集中的13.1％的节点。

Discussions and Suggestions 讨论与建议

截至2020年3月2日，自从2020年1月在中国发布全市封锁之类的预防政策以来，中国似乎已逐渐控制了COVID-19。管理，全市封锁可以有效降低传输率β1和β2；但是，这些相对极端的政策不仅限制了人身自由权，而且还影响着社会的正常运转。这些极端的政策迫使几家公司和工厂停止生产，这影响了经济的各个部门。因此，在疾病的预防和确保社会的正常运转之间取得平衡是至关重要的，提出所谓的“最佳”控制政策也很重要。

为此，基于系统模型结果，我们希望对控制COVID-19的传播提出一些讨论和建议。根据定理1，推论2，定理3，推论4和定理5的结果，我们知道，如果有效生殖数没有疾病爆发，

其中h是推论2中的群体免疫降低因子，当1-h个体对疾病免疫时，s是推论4或定理5中的社会疏远降低因子，w1（分别是w2）是被感染的概率可以（不能）检测到的人，而β1和γ1（分别是β2和γ2）是可以（不能）检测到的被感染者的传播率和恢复率。对于COVID-19，一旦被检测到，作为感染者的β1≤β2和γ1≥γ2可以被治疗（以缩短恢复时间）并被隔离（以降低传播率）。当w1 + w2 = 1时，因此最好具有比w2大得多的w1。

为防止爆发，应将（65）左侧的值最小化。在这里，我们讨论了几种方法。

• 提高γ1的回收率：增加γ1的最有效方法是寻找抗病毒药物；但是，这需要时间。因此，在这一阶段，我们应着重于其他控制疾病传播的方法。
• 降低牛群免疫力降低因子h：最有效的方法是找到减少易感人群比例的疫苗。再一次，这需要时间，我们应该在此阶段专注于其他控制疾病传播的方法。
• 降低传播率β1[32]：一旦检测到感染者，就应将其隔离，以免对社会造成额外感染并降低传播率β1。怀疑与感染者接触者的隔离也可能降低传播率β1和β2。
• 增加检测概率w1（从而减少w2）：大量测试肯定会增加w1。实际上，韩国在通行测试方面做得非常出色。如果由于医疗资源的限制而无法进行大规模检测，那么测量体温也可以作为一种有效的选择，因为已确诊的COVID-19病例中有87.9％发烧。除此之外，还可以跟踪已确诊病例的旅行历史，职业，联系方式和聚类（TOCC），以缩小可能来源的范围。这些来源可能包含无法检测到的感染者，因此测试这些可能来源的密切接触可以通过检测到无法检测到的感染者来增加w1。
• 降低传播速度β2：健康教育知识的宣传可以大大降低传播速度β2。例如，在公共场所和封闭空间中戴着口罩，洗手，避免触摸您的嘴，眼和鼻子是很好的方法，不仅可以保护自己免受无法检测到的感染者的感染，而且还可以避免感染他人。
• 减少社会距离减少因子s：如推论4和定理5所示，有两种实用的方法可以减少社会距离减少因子s：（i）允许每个人保持其人际交往最多至正常水平的一小部分接触，以及（ii）取消群众集会。

Conclusion and Future Work

在本文中，我们对COVID-19进行了数学和数值分析。我们的时间相关SIR模型不仅比传统的静态SIR模型更具适应性，而且比直接估计方法更健壮。我们的数值结果表明，从中华人民共和国国家卫生委员会收集的数据集，受感染人数X（t）和康复人数R（t）的一日预测误差在（几乎）3％之内中国（NHC）[12]。此外，我们有能力跟踪关于时间t的传播率β（t）和恢复率γ（t）的特征，并准确预测中国COVID-19暴发的未来趋势。

为了解决COVID-19中不可检测的感染的影响，我们通过考虑两种类型的感染者扩展了SIR模型：可检测的感染者和不可检测的感染者。在这样的模型中是否爆发是通过与基本再现数R0密切相关的2×2矩阵的光谱半径来表征的。除了对中国的数值分析之外，我们还将研究扩展到了其他国家，包括日本，新加坡，韩国，意大利和伊朗。

为了了解社交疏远方法的效果，包括减少人际交往和取消群众集会，我们在配置模型中分析了疾病传播的IC模型。通过将IC模型中的传播概率与SIR模型中的传输速率和恢复速率相关联，我们证明了这些社会疏远方法可以导致有效繁殖数Re的减少。

最后但并非最不重要的一点是，基于实验结果，从我们的模型的角度提出了一些关于流行病预防的讨论和建议。一项可能的未来工作是将我们的确定性SIR模型扩展到随机模型，以便可以将超扩展事件（在低患病率下显示出较高的随机性[33]）纳入分析。通过这样做，可以进一步提高预测结果的精度。

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