GAP4.7/4.10.2软件中尚不完善的有限环功能
GAP4没有与IdGroup对应的IdRing命令：
例如：
for j in [1..2] do for i in [1..11] do R:=DirectSum(SmallRing(4,i),SmallRing(2,j));;Print("i=",i,"j=",j,","IdRing(R),"\n");od;od;
实际上22种8阶直积环（去掉重复的R8_27、R8_40后剩20种）应该输出如下结果：
i=1,j=1,[ 8, 5 ]
i=2,j=1,[ 8, 16 ]
i=3,j=1,[ 8, 13 ]
i=4,j=1,[ 8, 25 ]
i=5,j=1,[ 8, 26 ]
i=6,j=1,[ 8, 27 ]
i=7,j=1,[ 8, 29 ]
i=8,j=1,[ 8, 34 ]
i=9,j=1,[ 8, 35 ]
i=10,j=1,[ 8, 40 ]
i=11,j=1,[ 8, 42 ]
i=1,j=2,[ 8, 7 ]
i=2,j=2,[ 8, 17 ]
i=3,j=2,[ 8, 14 ]
i=4,j=2,[ 8, 27 ]
i=5,j=2,[ 8, 38 ]
i=6,j=2,[ 8, 40 ]
i=7,j=2,[ 8, 41 ]
i=8,j=2,[ 8, 47 ]
i=9,j=2,[ 8, 48 ]
i=10,j=2,[ 8, 50 ]
i=11,j=2,[ 8, 51 ]
gap> L:=[5,16,13,25,26,27,29,34,35,40,42,7,17,14,38,41,47,48,50,51];;n:=Size(L);
20
Ideals等GAP命令仅对某些阶的环有效（例如n=4、8...）,对大多数有限环无效。 ]
gap> R:=SmallRing(4,7);;Size(R);IsRing(R);FR:=GeneratorsOfRing(R);Size(FR);L:=Elements(R);ShowAdditionTable(R);ShowMultiplicationTable(R);IsAbelian(R);One(R);CR:=Center(R);Size(CR);IsSubset(R,CR);M:=Ideals(R);Print(List(M,Size),"\n");n:=Size(L);;for k in [1..n] do I1:=IdealByGenerators(R,[L[k]]);S1:=RingByGenerators([L[k]]);;Print("|S",k,"|=",Size(S1),",|I",k,"|=",Size(I1),"\n");od;
特征为8、加法群为C_8×C_2【加群的型为1，3】的16阶环分配编号空间6~34（已找到的上限值）
特征为4、加法群为C_4×C_4【加群的型为2，2】的16阶环分配编号空间53~113（已找到的上、下限值）
特征为4、加法群为C_4×C_2×C_2【加群的型为1，1，2】的16阶环分配编号空间40~49、114~272（已找到的上、下限值）
特征为2【加群的型为1，1，1，1】的16阶环分配编号空间38~39、273~390（已找到的下限值）
R16的加法群：
GAP4[16,1]=G16_1=C_16有1个1阶元，1个2阶元，2个4阶元，4个8阶元，8个16阶元
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,2]=G16_2=C_4×C_4有1个1阶元，3个2阶元，12个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,14]=G16_5=C_2×C_2×C_2×C_2有1个1阶元，15个2阶元，0个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
4阶交换环有9个，8阶交换环有34个，16阶交换环有162个。
4阶幺环有4个，8阶幺环有11个，16阶幺环有50个。
4阶非交换环有2个，8阶非交换环有18个，16阶非交换环有228个。
4阶半单环有2个，8阶半单环有3个，16阶半单环有6个。
有限半单环的个数：
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 13, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 2, 2
有限非交换环的个数：
0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 18, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 228, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 36, 2, 0, 23, 4, 0, 0, 0
有限交换环的个数：
1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2
有限幺环的个数：
1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4
390种16阶环
gap> NumberSmallRings(16);
0//应该是390
16阶循环环共有T(16)=|{1,2,4,8,16}|=5种,特征都为16。
R16_1=Z/256Z_<16>=M_16
R16_2=Z/32Z_<2>
R16_3=Z/48Z_<3>=Z/16Z=Z/16Z_<3>
R16_4=Z/64Z_<4>
R16_5=Z/128Z_<8>
R16_1：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,15,15,256,15,16
R16_2：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,3,7,80,15,16
R16_3：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_4：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,15,128,15,16
R16_5：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,15,192,15,16
ring 16.u.1=Z_16的运算为模16加与模16乘，剩余类环Z_16是有零因子环。
ring 2222.u.1=F_2×F_2×F_2×F_2，这个环可以看作域F_2上维数是4的向量空间
ring 2222.u.2=F_2×F_2×F_4，这个环是否同构于F_2[u]/(u^4+u)？
ring 2222.u.3=F_2×F_8，这个环是否同构于F_2[u]/(u^4+u^3+u)？
ring 2222.u.4=F_4×F_4，这个环是否同构于F_4[u]/(u^2+u)？
ring 2222.u.5=F_16
R16_6=Z/8Z×Z/2Z：1有零因子交换幺环,1,1,12,4,1,3,60,11,16
R16_7=ZimodnZObj(1+2i,4+4i)：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,7,64,7,16
R16_8=ZE3modnZObj(6+12ω,16)：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,7,128,15,16
R16_16:N0n0bAbOn1n2n4n5n6n7n8S1N2=[1,3,4,8,0],8,1,0,16,1,15,15,160,15,16,[1,3,4,8,0],[[2,8,16],[4,8,16],[8,2,16],[8,4,16],[8,8,32]]
R16_17:N0n0bAbOn1n2n4n5n6n7n8S1N2=[1,3,4,8,0],8,1,0,16,1,7,7,128,15,16,[1,3,4,0,8],[[2,8,16],[4,8,16],[8,2,16],[8,4,16],[8,8,64]]
256阶全矩阵环M_2(Z/4Z)的一个16阶子环R16_101：4有零因子非交换无幺环,0,0,16,5,5,7,88,7,1
256阶全矩阵环M_2(Z/4Z)的一个16阶子环R16_102：4有零因子非交换无幺环,0,0,16,5,5,7,88,15,1
R16_103：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,3,15,144,15,16
256阶全矩阵环M_2(Z/4Z)的一个16阶子环R16_104：1有零因子交换幺环,1,1,12,4,3,3,64,11,16
R16_104a=Z/(4)[x]/(x^2+x)：1有零因子交换幺环,1,1,12,4,3,3,64,11,16
R16_104、R16_104a的环的结构不变量N0,n0,bA,bO,n1,n2,n4,n5,n6,n7,n8,S1=[1,3,12,0,0],4,1,1,12,4,3,3,64,11,16,[1,3,6,6,0]
R16_105a=Z/(4)[x]/(x^2+1):1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_105、R16_105a的环的结构不变量N0,n0,bA,bO,n1,n2,n4,n5,n6,n7,n8,S1=[1,3,12,0,0],4,1,1,8,2,3,3,48,7,16,[1,3,2,6,4]
R16_105=Z[i]/(4)：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_106=Z[ω]/(4)：1有零因子交换幺环,1,1,4,2,3,3,40,3,16
R16_106a=Z/(4)[x]/(x^2+x+1)：1有零因子交换幺环,1,1,4,2,3,3,40,3,16
R16_106、R16_106a的环的结构不变量N0,n0,bA,bO,n1,n2,n4,n5,n6,n7,n8,S1=[1,3,12,0,0],4,1,1,4,2,3,3,40,3,16,[1,3,2,2,8]
256阶全矩阵环M_2(M_4)的一个16阶子环R16_107：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,15,15,256,15,16
256阶全矩阵环M_2(2Z/8Z)的一个16阶子环R16_108：4有零因子非交换无幺环,0,0,16,1,7,15,160,15,4
R16_109=ZimodnZObj(1+i,4+4i)：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,3,7,80,15,16
R16_110=Z/(4)[x]/(x^2)：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,7,7,56,7,16
环的结构不变量N0,n0,bA,bO,n1,n2,n4,n5,n6,n7,n8,S1=[1,3,12,0,0],4,1,1,8,2,7,7,56,7,16,[1,3,6,2,4]
R16_117:N0n0bAbOn1n2n4n5n6n7n8S1N2=[1,3,12,0,0],4,1,0,16,1,7,15,192,15,16,[1,3,4,8,0],[[4,4,64]]
256阶全矩阵环M_2(2Z/8Z)的一个16阶子环R16_200：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,7,15,192,15,16
256阶全矩阵环M_2(R4_5)的一个16阶子环R16_379：4有零因子非交换无幺环,0,0,16,1,11,15,144,15,4
256阶全矩阵环M_2(F_2×F_2)的一个16阶子环R16_380：3有零因子非交换幺环,0,1,14,12,1,1,78,13,4
256阶全矩阵环M_2(F_4)的一个16阶子环R16_381：4有零因子非交换无幺环,0,0,16,5,3,3,76,3,1
R16_382=F_2[u]/(u^4+u^3+u^2+u)：1有零因子交换幺环,1,1,12,4,1,3,60,11,16
R16_383=F_2[u]/(u^4+u^2+1)=F_4[u]/(u^2)：1有零因子交换幺环,1,1,4,2,3,3,40,3,16
R16_384=F_2[u]/(u^4+u^2)：1有零因子交换幺环,1,1,12,4,3,3,64,11,16
R16_385=F_2[u]/(u^4)：1有零因子交换幺环,1,1,8,2,3,3,48,7,16
R16_386：1有零因子交换幺环,布尔环,1,1,15,16,0,0,81,14,16
R16_387=F_2[u]/(u^4+u)：1有零因子交换幺环,1,1,13,8,0,0,63,12,16
R16_388=F_2[u]/(u^4+u^3+u)：1有零因子交换幺环,1,1,9,4,0,0,45,8,16
R16_389=F_4[u]/(u^2+u)：1有零因子交换幺环,1,1,7,4,0,0,49,6,16
R16_390=F_2[u]/(u^4+u+1)：0域,1,1,1,2,0,0,31,0,16
16阶全矩阵环M_2(F_2)=R16_300：3有零因子非交换幺环,0,1,10,8,3,3,58,9,2
16阶全矩阵环M_2(M_2)=R16_301：2有零因子交换无幺环,1,0,16,1,15,15,256,15,16
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