模拟退火simulated annealing

1983年Kirkpatrick使用模拟退火来求解组合最优化问题，尽管1953年Metropolis等人已经提出了模拟退火的思想。

也就是说1983年模拟退火开始被大量使用。它是模拟固体退火的过程，固体退火后，温度降低，能量也随之降低。如果我们把每个温度下的状态空间看做可行解集，把能量看做是目标函数值，就会发现它与组合最优化问题非常相似。

它是一种全局搜索算法，利用Metropolis控制温度下降过程来实现模拟退火。温度比较高时，接受差解的可能性/概率较高；温度较低时，接受差解的概率变小，趋近于爬山算法。这也很合理，温度高，也就是一开始，接受差解以保持解空间的多样性；待到后面温度降低，开始仔细搜索。也就是同时顾及到了搜索空间的多样性（横向）和质量（纵向）。

关键点有三个：怎么定义邻域结构，这往往是核心所在。也就是一个状态怎么变到另一个状态的（在随机过程中这被叫做马尔科夫过程）。还有接受/拒绝概率如何变化，这用来指导搜索方向。通常用蒙特卡洛法Monte Carlo来控制，接受概率为 $e^{-\frac{\triangle E}{T}}$ ，也就是说rand小于此概率，差解被接受。最后一个就是温度如何变化，冷却温度或者升温，这一块也要思考设计。

下面是流程和步骤：

模拟退火法可分为解空间、目标函数和初始解三部分。具体流程如下：

step1：初始化。设置初始温度T0，充分大；初始解状态X0，是算法迭代的起点；每个T值的迭代次数L。

step2：当k=1,...,L，执行step3~step6。这里L也被称为马尔科夫链长度（也就是每一温度下有多个解）。

step3：产生新解X'。这里涉及到邻域设计。

step4：计算增量 $\bigtriangleup E=E\left ( X' \right )-E\left ( X \right )$ ，也就是新解与以前解的差，也就是增量。增量为负，说明解变好了。接受，当为非负时，没改善，就要考虑是否接受了。

step5：若 $\triangle E< 0$ ，则接受X'作为新的当前解，否则以概率 $e^{-\frac{\triangle E}{T}}$ 接受X'作为新的当前解。

step6：如果满足终止条件，则输出当前解作为最优解，结束程序。

step7：T逐渐缩小，且T趋于0，执行step2。

step2-step6，可以理解为内循环，因为是一个温度下的邻域解集。温度在外循环。

更详细的SA介绍可以看这篇。

最后分享一个开源库搭建网址：开源库框架。

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