在N个数中查找第K大的数字（Top K问题）

在N个乱序数字中查找第k大的数字，时间复杂度可以减小至

O(N*logN)
O(N)
O(1)
O(2)

答案：B

所谓“第（前）k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第（前）k个数的问题。

注意：题中只需得到最大的K个数，而不需要对后面N-K个数排序

可能存在的条件限制：

要求时间和空间消耗最小、海量数据、待排序的数据可能是浮点数等

方法一：对所有元素进行排序，之后取出前K个元素，不提倡使用

思路：使用最快排序算法，选择快排或堆排

时间复杂度：O(n*logn) + O(K) = O(n*logn)

特点：需要对全部元素进行排序，K = 1 时，时间复杂度也为O(n*logn)

方法二：只需要对前K个元素排序，不需要对N-K个元素进行排序，不提倡使用

思路：使用选择排序或起泡排序，进行K次选择，可得到第k大的数

时间复杂度：O(n*k)

方法三：不对前K个数进行排序 + 不对N-k个数排序，可以使用

思路：寻找第K个大元素。

具体方法：使用类似快速排序，执行一次快速排序后，每次只选择一部分继续执行快速排序，直到找到第K个大元素为止，此时这个元素在数组位置后面的元素即所求

时间复杂度：

若随机选取枢纽，线性期望时间O(N)

若选取数组的“中位数的中位数”作为枢纽，最坏情况下的时间复杂度O（N）

利用快速排序的思想，从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。这时有两种情况：

1. Sa中元素的个数小于k，则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；

2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。

利用快排的partion思想 T(n) = 2T(n/2) + O(1) 时间复杂度为O(n)

该方法只有当我们可以修改输入的数组时可用，位于数组左边的k个数字就是最小的k个数字（但这k个数字不一定是排序的），位于第k个数右边的数字都比第k个数字大

//这里实现的是解法3
#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;int Partition (int *L, int low, int high)
{int temp = L[low];int pt   = L[low]; //哨兵while (low != high){while (low < high && L[high] >= pt)high--;L[low] = L[high];        while (low < high && L[low] <= pt)low++;L[high] = L[low];}    L[low] = temp;return low;
}void QSort (int *L, int low, int high)  //快速排序
{int pl;if (low < high){pl = Partition (L,low,high);QSort (L, low,  pl-1);QSort (L, pl+1, high);}
}void findk(int k,int *L,int low,int high)
{int temp;temp=Partition(L,low,high);if(temp==k-1){cout<<"第"<<temp+1<<"大的数是:"<<L[temp]<<endl;}else if(temp>k-1)findk(k,L,low,temp-1);elsefindk(k,L,temp+1,high);
}int main()
{int a[10]={15,25,9,48,36,100,58,99,126,5},i,j,k;cout<<"排序前："<<endl;for(i=0;i<10;i++){cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"请输入你要查找第k大的数："<<endl;cin>>k;findk(k,a,0,9); //查找第k大的数不需要全部排序QSort(a,0,9);   cout<<"排序后："<<endl;for(i=0;i<10;i++){cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;system("Pause");return 0;
}

方法四、我们寻找线性查找的算法，适合数据量小的数据

思路1：寻找第K个大的元素 + 计数排序 + 数组实现

具体方法：使用计数排序，另开辟一个数组，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的 K 个。

缺点：

1、有些数没有出现过，仍要为其保留一个空间，空间浪费比较严重

2、不能处理浮点数

思路2：寻找第K个大的元素 + 计数排序 + map实现

具体方法：利用STL最后的map保存每一个元素Si出现的次数，之后从大到小扫描找到K个数

时间复杂度O(n*logn) 空间复杂度O(n)

注意：

1、可以处理浮点数

2、不能使用CMap实现，因为Cmap不能根据key自动为其排序

3、map内部是由红黑树实现的，每次插入都是logn，总的复杂度为n*logn。

这里给出两个另外的思路，他们没有计数排序和类快速排序好，这里仅仅为了打开思路

方法五、基数排序，不提倡使用

思路：寻找第K个大的元素 + 基数排序

一次遍历，找到最大的数为Vmax;，最小的数为Vmin
对区间[Vmin,Vmax]分成M块
每个小区间的跨度为d=（Vmax–Vmin）/M
即 [Vmin,Vmin+d], [Vmin+d,Vmin+ 2d],……
扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数,我们可以知道第K大的元素在哪一个小区间。
然后，再对那个小区间，继续进行分块处理。
。。。。递归下去，一直找到一个区间只含第K个数为止

时间复杂度：O ( (N +M )* log2 M (|V max - V min |/delta) )

方法六、类二分查找，不提倡使用

思路：寻找第K个大的元素 + 类二分查找

二分[Smin,Smax]查找结果X，统计X在数组中出现，且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。时间复杂度平均情况为O(n*logn)

while(Vmax – Vmin > delta)
{Vmid = Vmin + (Vmax - Vmin) * 0.5;if(f(arr,N,Vmid) >= K)Vmin = Vmid;elseVmax = Vmid;
}
伪码中f（arr ,N,Vmid）返回数组arr [0, …, N-1]中大于等于Vmid的数的个数。

举例

结果分析：程序运行的结果，得到一个区间（Vmin, Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）这个元素就是第K大的元素。

注意：

1、delta的取值要比任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta可以取值0.5。

2、算法的时间复杂度O( N * log2 (|Vmax - Vmin| /delta) ) - 不知道怎么算的

方法七、我们要尽可能少的遍历所有数据。相比下，属于较好的算法，提倡使用

思路：维护一个大小为k的小根堆，堆顶元素是最大K 个数中最小的一个，即第K个元素

处理过程对于数组中的每一个元素X，判断与堆顶的大小
如果X 比堆顶小，则不需要改变原来的堆, 因为这个元素比最大的K 个数小。
如果X比堆顶大，要用X 替换堆顶的元素Y 。调整堆的时间复杂度为O(log2K)。

时间复杂度： O (N * log2 K )，算法只需要扫描所有的数据一次

空间复杂度：大小为K的数组，只需要存储一个容量为K 的堆。

注意、大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果K 仍然很大，我们可以尝试先找最大的K ’个元素，然后找第K ’+1个到第2 * K ’

元素，如此类推（其中容量K ’的堆可以完全载入内存）。这时，每求出K’个数，就遍历一遍数据了

方法八、可以直接对原数组建立大根堆，取这个优先队列前k个值。数据量小的时候可以考虑

思路：在线性时间内，能将一个无序的数组建成一个最小堆，然后取堆中的前k个数

建堆时间是O（n），每次调整时间为O(log n)

复杂度O(n)+k*O(log n)

在有优化，每次调整时不需要调整logn次了，只需调整K次，这个k 和取第k个数是同一个数

也就是，建堆后，直接取出第一个最大值。取第一个最大值后，大根堆已经被破坏了，之后需要向下进行k次调整就好。取第2个最大值后，之后进行k-1次调整，等等。注意，每次取完值后，这个堆就不是大根堆了

原来堆的方法，每次调整l最大是logn次，调整后仍是大根堆

优化后的时间复杂度是O(n+k^2)

评价：这两个方法的时间复杂度都比维护一个大小为k的小根堆的方法好，但是后者是空间复杂度还是很好的，内存中只需维护一个大小为k堆，而其他两个方法需要把整个堆都放入内存，这对于处理海量数据效率还是不是很好啊，而且作者July还在程序验证过，其实这两种算法在时间上区别不是很大。

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