图论学习--3 图的连通度（思维导图）割点 割边 块 连通度 连通度的性质
图的连通度
割边，割点，块
割边
- 图G删除e之后，连通分支变多
- 若G连通，删去割边之后，G不连通
定理1：e是G的割边当且仅当e不在G的任何圈中
- 由此可推论：e是连通图G的某圈中，则G-e仍然连通
- 必要性：反证，假设e在圈中，对于G-e，任意取两个点x,y。对于G，因为连通，所以存在x,y的路P，1）P不含e，则P也是G-e中一条路2）P含e，因为e在圈中，则C-e是可以和P组成一条心的路。综上，不管怎样，G-e都连通，这和e是割边矛盾，故e不在圈中
- 充分性：显然啦，若e不是割边，则G-e连通，从而G-e存在一条路P，则G-e+e=G中则存在P+e这个圈，与e不在圈中矛盾，故得证
ω(G-e)>ω(G)
割点
- E可以划分成两个非空子集E1和E2，使得G[E1]和G[E2]只有一个公共顶点v，v即为割点。
- ω(G-v)>ω(G)
定理2：设v是树的顶点，则v是G的割点当且仅当d(v)>1
- 即，割点不可能是树的叶子
定理3：设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当且仅当V(G-v)可划分成为两个非空顶点子集V1和V2，x∈V1，y∈V2，点v都在每一条(x,y)路上。
- 即，v是点集V1到V2的必经之路，就是社交网络中的Betweeness值。
- 必要性：依然反证，如果有路不经过v，则V1，V2连通，矛盾
- 充分性：所有(x,y)路都含有v，则删掉v后x,y没路了，所以V1，V2不连通，所以得证
推论：无环非平凡连通图至少有两个非割点
证明：由于无环非平凡连通图，所以存在非平凡生成树T，而非平凡树至少有两片树叶，因为定理2，割点不可能是树叶，所以T至少有两个非割点，所以G至少有两个非割点
- 这里是有个小概念，或者是一个显而易见的道理，即原图的割点情况不可能比生成子图更差
块
概念
- 没有割点的连通图
图G的子图B是块，且G中没有真包含B的子图也是块，则称B是G的块。
- 即：B是块，且不能再加任何一个点了，极大了，才能称B是G的块
三个小性质
- 若e是图G的割边或e是一个环，则G[{e}]是G的块
- G的仅含一个点的块，或是孤立点，或是环导出的子图
至少两个点的块无环，至少三个点的块无割边
- 一个点的块可能是环，也可能是孤立点
- 两个点的块是割边，即K2
定理4：设图G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无环且任意两点都位于同一个圈上
- 充分性：按照割点的定义，显然
必要性：数学归纳法，任意两点d(u,v)，为1时，显然成立，为k-1时假设成立，为k时，选取路uv中v的前一点w，然后由于是块，删除w，还联通，则还有另外一条不经过w的路Q连接uv，此时就会构成一个新的圈，所以uv在圈上。
- 由这个图基本就可以很清晰的理解了
- 两种情况，一种是v在u和w的圈C中(假设条件)，另一种是v和u在新的圈C‘中，证明C’存在
这个的理解可以通过上面的三个小性质来理解，就很方便了
推论：设G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上
- 边在同一个圈->点在同一个圈
- 任取两条边，中间各插入一个点，它们在一个圈上，从而这两条边也在同一个圈上
定理5：点v是图G的割点当且仅当v至少属于G的两个不同的块
- 不同块的公共点一定是割点
图的块可以按割点来寻找
- 然后割边是一个块
块割点树
- 将块抽象为一个顶点
- 割点保存
- 连线志在块割点之间进行
- 还是得根据割点来操作
连通度
顶点割
V’是V(G)的顶点子集
- G-V'不连通，则V'是G的顶点割
- 含有k个顶点的顶点割是G的k-顶点割
- G中点数最少的顶点割称为最小点割
顶点割将割点的定义扩大到了顶点子集
说明
- v是G的割点，当且仅当{v}是G的1-顶点割
- 完全图没有顶点割
- 实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点割
连通度
概念
- 若G存在顶点割，则G的最小点割中的点数为G的连通度
- 如果没有顶点割，则n-1为连通度，即完全图的连通度为n-1
非连通图的连通度κ=0
- 删0个点就能连通
连通度可以描述为“删去图中k个点，使图不连通或称为单点图的最小k值”
- 连通度也可以描述为“删去k-1个点，图还连通”
- 连通图的符号记为κ(G)
若一个图的连通度至少为k，(κ(G)≥k这个好理解)，则称该图是k连通的
- 连通度为3时，则图是1连通，2连通，3连通的，小于k都是连通的。κ≥3能够推出κ≥2
非平凡连通图都是1连通的，当图是2连通的当且仅当G连通、无割点且至少含有3个点
- 对连通度，可以理解为连通强度，删多少个点才不连通的能力，所以对于k连通，若k≥1时，则该图一定k-1连通
边割
- G-E‘不连通的G的边自己E'为G的边割
- 含有k条边的边割称为k边割
- 边数最少的边割称为最小边割
- 引申出 边连通度 的概念，这个和连通度差不多，记为λ(G)
- 若一个图的边连通度至少为k，则是k边连通的
- 非平凡连通图均是1边连通的，图G是2边连通的当且仅当G连通、五个变且至少含有两个点
- 边割和点割不一样，边割一定存在，即把度最小的点的所有边都删了，该点就孤立成块了
连通度的性质
性质1：对于G中任意的点x，有κ(G)-1≤κ(G-x)
- 证明：情况1:，G-x的点割存在，设Vx是G-x的最小点割，则，{x}∪Vx是G的一个点割。κ(G)≤|{x}∪Vx|=κ(G-x)+1。情况2：，G-x的点割不存在，κ(G-x)=(n-1)-1=n-2，对于G而言，κ(G)≤n-1=(n-2)+1=κ(G-x)+1
性质2：λ(G)-1≤λ(G-e)≤λ(G)
- 证明：设Ee是G-e的最小边割，则{e}∪Ee是G的一个边割，则λ(G)≤|{e}∪Ee|=λ(G-e)+1 。然后λ(G-e)≤λ(G)是显然的
性质3：κ(G)≤λ(G)≤δ(G)
- 证明：首先证明右边，对于任意的u∈V(G)，由于与u相关联的所有边是G的一个边割集（使一个点变成孤立点（孤立点也是块）），所以λ(G)≤δ(G)成立。
证明：然后证明左边，设M是图G的最小边割，G-M一定不连通，恰有两个连通分支，（1），若存在u∈V(G1)，v∈V(G2)，且u，v不邻接，下面构造点割U，不删u，v。构造规则为，任意e∈M，若u与e关联，则删e在G2中的端点，v同理，从而构造出了点割。则U是G的点割，因为G-U中，不含(u,v)路，故而G-U不连通。所以κ(G)≤|U|≤|M|=λ(G)。（2）若u，v邻接，即G1中任一点均与G2中的点邻接。设|V(G1)|=k,则|M|=k(n-k)≥n-1≥κ(G)，这不可能，所以这种情况不可能
- 通过最小边割恰好将图分成两个连通分支，然后通过最小边割来构造点割，证明最小边割数是≥点割的数的，从而点割数≥最小点割数
性质4：设G是具有m条边的n阶连通图，则κ≤int[2m/n]
- 证明：2m/n其实就是平均度，2m≥nδ，所以int[2m/n]≥δ，有性质3可得，δ≥κ，所以得证
引理1：G是n阶简单图，若δ(G)≥int[n/2]，则G必连通
- 证明：若G不连通，则G至少有两个连通分支，从而必有一个连通分支满足|V(H)|≤int[n/2]，从而最大度△≤int[n/2]-1＜int[n/2]，于是和δ(G)≥int[n/2]矛盾，所以G必连通
性质5：设G是n阶简单图，对正整数k＜n，若δ(G)≥(n+k-2)/2，则G是k连通的
- 可以用来作为k连通的判断
证明：任意删去G中k-1个点，得到图H，则δ(H)≥δ(G)-(k-1)≥(n+k-2)/2 -(k-1)= (n-k)/2。所以δ(H)≥int[(n-k+1)/2]，由引理1知H是连通的，所以G是k连通的。
- 一句话，删去k-1个点任然连通
性质6：若G是n阶简单图，若δ(G)≥int[n/2]，则有λ(G)=δ(G)
证明：反证法，若不然，设λ(G)＜δ(G)，设G的最小边割为M，且|M|=λ(G)，设G-M中G1分支中与M相关联的顶点数为P，显然有：P≤λ(G)，对G1中顶点数进行估计，2|E(G1)|≥Pδ(G)-λ(G)，又因为λ(G)＜δ(G)，所以，2|E(G1)|≥Pδ(G)-λ(G)＞λ(G)(P-1)≥P(p-1)=2|E(Kp)|（Kp是完全图），上式表明|V(G1)|>P，这说明，G1中至少有一个顶点x不与G2中顶点邻接，所以dG1(x)=dG(x)≥δ(G)，所以|V(G1)|≥δ(G)+1，同理，|V(G2)|≥δ(G)+1，于是得到δ(G)<int[n/2]，则与条件矛盾，所以反证成立。
- 反证，通过该条件得出G1中有点不与G2相连
可以看做是引理1的扩充
敏格尔定理
- 基础概念：如果图G中两条(x,y)路仅xy是公共点，则称这两条路内部不相交或独立的。
- 基础概念：设x与y是图G中两个不同点，称一组点(或 边)分离x与y，是指G中删去这组点（边）后不再有（x，y）路。
- 敏格尔定理：（1）设x和y是图G中的两个不相邻点，则G中分离x和y的最少点数=独立的（x，y）路的最大数目。（2）设x，y是图G中的两个不同点，则G中分离x和y的最少边数=边不重的（x，y）路的最大数目。
推论1：对k≥2，图G是k连通的当且仅当G中任意两个不同顶点间均存在k条独立路
证明：（必要性）设G是k连通图，有k连通的定义，G中分离任意一对顶点至少需要 k个点。从而，对G中任意两个顶点x和y，若x，y不相邻，根据敏格尔定理，G中存在k条独立路；若x，y相邻，则删去x与y的边之后所得图G‘的连通度至少为k-1，从而G'中分离x与y至少需要k-1个点。因为κ(G-e)≥κ(G)-1，所以G至少k连通
需要新证明一个κ(G-e)≥κ(G)-1
- 这个很好证明，因为κ(G-x)≥κ(G)-1，而对于连通图，删去一个点，必定至少删去一条边，所以G-x是G-e的子图，所以子图的连通度肯定小于等于原图，故κ(G-e)≥κ(G-x)≥κ(G)-1，得证
证明：（充分性）假设G中任意两个顶点间至少存在k条独立路，设U是G的最小点割，即|U|=κ(G)。令x与y是G-U的处于不同分支的两个点。所以U是x与y的分离解，由敏格尔定理：κ(G)=|U|≥k，则G是k连通的
推论2：设G是阶至少为3的图，则以下三个命题等价。（1）G是2连通的（2）G中任意两点都在同一个圈上（3）G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上
- （1）到（2）可由推论1得证，两条路，起点终点一样，可不就是圈儿嘛
（2）到（3）的证明是在任意两条边上添加两点
- 和前面的证明方法一样
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