前言

本文是博主对于 Zhi-quan Luo 老师的经典著作《Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems》的读书笔记，希望可作为对全文以中文形式的核心梳理。

单刀直入

首先， Semidefinite Relaxation (SDR) 适用的问题可以写为如下形式：

min⁡x∈RnxTCxs.t. xTAix⊵ibi,i=1,…,m(1)\begin{aligned} \min _{x \in \mathbb{R}^{n}} & \;\;x^{T} C x \\ \text { s.t. } & x^{T} A_{i} x \unrhd_{i} b_{i}, \quad i=1, \ldots, m \end{aligned}\tag{1} x∈Rnmin s.t. xTCxxTAix⊵ibi,i=1,…,m(1)

有几个注意点：

暂时定义在实数域上，但复数域有类似的结论。
⊵i\unrhd_{i}⊵i 表示 ≥\ge≥, ≤\le≤, === 的其中之一。也就是说，只要限制条件是二次约束即可。
CCC， AiA_iAi 都是对称矩阵。即, C,A1,…,Am∈SnC, A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathbb{S}^{n}C,A1,…,Am∈Sn。

显然，目标函数和限制条件中都有两个xxx，因此这类问题也被称为二次约束二次规划 (quadratically
constrained quadratic programs, QCQP) 问题。需要注意的是， 这并不是一个凸问题。因为 xTAix>0x^{T} A_{i} x>0xTAix>0 和 xTAix=0x^{T} A_{i} x=0xTAix=0 都并非一个凸集。

而SDR方法的目的就是将问题转化为一个凸问题从而求解。

我们引入一个新的变量 X=xxTX = xx^TX=xxT，并以此为优化变量，那么问题(1)可以被写为：
min⁡X∈SnTr⁡(CX)s.t. Tr⁡(AiX)⊵ibi,i=1,…,m,X⪰0,rank⁡(X)=1(2)\begin{aligned} \min _{X \in \mathbb{S}^{n}} & \operatorname{Tr}(C X) \\ \text { s.t. } & \operatorname{Tr}\left(A_{i} X\right)\unrhd_{i} b_{i}, \quad i=1, \ldots, m, \\ & X \succeq 0, \operatorname{rank}(X)=1 \end{aligned}\tag{2} X∈Snmin s.t. Tr(CX)Tr(AiX)⊵ibi,i=1,…,m,X⪰0,rank(X)=1(2)
详细解释一下这一步的转化：

注意到 (1) 的目标函数 xTCxx^TCxxTCx显然是一个标量。而标量可以看成一个 1×11\times 11×1的矩阵，且迹等于本身。即 tr(xTCx)=xTCx\mathrm{tr}(x^TCx)=x^TCxtr(xTCx)=xTCx。而根据迹的性质，有 tr(AB)=tr(BA)\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)tr(AB)=tr(BA)。也就是说， tr(xTCx)=tr(CxxT)=tr(CX)\mathrm{tr}(x^TCx)=\mathrm{tr}(Cxx^T)=\mathrm{tr}(CX)tr(xTCx)=tr(CxxT)=tr(CX)。这也就变成了 (2)中的目标函数。那么 (2) 中的限制条件，也就可以根据相同的变换轻易得到。
相比于(1)， (2)中多了两个限制条件，这是由于 X=xxTX = xx^TX=xxT 引入的。显然rank⁡(X)=1\operatorname{rank}(X)=1rank(X)=1，因为XXX的所有列都线性相关。也因此，只有一个特征值等于 xTxx^TxxTx，显然是大于0的，所以肯定是半正定矩阵。

这一步转化的意义在哪呢？

事实上，除了 rank⁡(X)=1\operatorname{rank}(X)=1rank(X)=1 这个限制以外，整个问题是一个凸问题。 由于迹函数是个仿射变换，很容易证明其凸性。而半正定约束也显然是个凸集，因为两个半正定矩阵的和一定也是一个半正定矩阵。

因此，工程上很自然的想法就是， **暂时得忽略该约束rank⁡(X)=1\operatorname{rank}(X)=1rank(X)=1，并通过凸优化方法（事实上以CVX工具包为代表的内点法数值算法）来求解出一个解 XXX. 这一步大家百度下CVX的使用就可以了，没有任何障碍。

而问题的关键点在于，始终我们问题需要得到的是xxx，而非XXX。如果通过凸优化求出的XXX刚好就是一个rank⁡(X)=1\operatorname{rank}(X)=1rank(X)=1的矩阵，那么xxx可以直接得到（对X做个SVD或EVD啥的都可以）。 但更多时候， XXX没有道理是一个 rank⁡(X)=1\operatorname{rank}(X)=1rank(X)=1的矩阵。 也就是说，根本不存在一个xxx，使得 X=xxTX=xx^TX=xxT。

工程实现

那么SDR要解决的另一个问题就是如何从XXX中恢复出一个满足原问题约束的xxx。
出于工程实现角度的思路其实非常清晰，我们可以直接求解下面的问题以获得 xxx：
min⁡x∥X−xxT∥F2(3)\min_x \;\; \|X-xx^T\|_F^2\tag{3}xmin∥X−xxT∥F2(3)
即找一个最接近XXX的 xxTxx^TxxT。这个问题很经典了，而他的闭式解就是， xxx是XXX的最大特征向量乘以最大特征值的平方根。即，将XXX的特征值分解表示为：
X⋆=∑i=1rλiqiqiTX^{\star}=\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} q_{i} q_{i}^{T} X⋆=i=1∑rλiqiqiT
其中λi\lambda_iλi， qiq_iqi，代表第iii大的特征值和对应的特征向量。那么(3)的最优解 xxx就是 x~=λ1q1\tilde{x}=\sqrt{\lambda_{1} }q_1x~=λ1q1。

但是，问题又出现了！虽然XXX满足了(2)中的所有的约束，但由于在这一步中，(3)中求得的xxx是一个近似的结果。此时得到的xxx，不一定满足原问题(1)中的约束了！也就是说，经过一顿转化之后，求得的xxx并不是原问题的可行解！此时怎么办呢？解决方案也非常符合工程思维：直接从xxx出发找一个离xxx最近的可行解，这就是SDR的最终结果。

最后提两点：

直接从xxx出发找一个离xxx最近的可行解，这本身就是一个独立的问题，具体问题具体分析，后面会给一个具体的例子。
毫无疑问，在SDR中有许许多多的近似，工程处理。因此， SDR的解远非全局最优解。

具体实例

为节约篇幅，本文只讲一个例子。也不是论文中给出的，而是HBF混合波束成形的经典论文《Alternating Minimization Algorithms for Hybrid Precoding in Millimeter Wave MIMO Systems》中的一个使用。有兴趣的读者也可以去看 SDR论文的原文，接触更多的例子。

以HBF为例，作者将问题转化为了如下的形式，熟悉HBF的读者应该很亲切了：

minimize⁡FBB∥Fopt−FRFFBB∥F2subject to ∥FBB∥F2=NRFtNsNt(4)\begin{array}{ll} \underset{\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}}{\operatorname{minimize}} & \left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}^{2} \\ \text { subject to } & \left\|\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}^{2}=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}} \end{array}\tag{4} FBBminimize subject to ∥Fopt−FRFFBB∥F2∥FBB∥F2=NtNRFtNs(4)

作者使用了 SDR作为一种算法来求解该问题。那么首先，为什么会选用 SDR呢？ 因为可以看到，目标函数和限制条件都是二次形式，这就是我们之前说到的SDR目标问题：QCQP问题。 接下来，通过这个例子展示如果实战使用SDR。

首先，刚刚介绍SDR时都是向量形式的变量xxx, 而(4)中都是矩阵，不利于处理，因此第一步先进行列化：
∥Fopt−FRFFBB∥F2=∥vec⁡(Fopt−FRFFBB)∥22=∥vec⁡(Fopt)−vec⁡(FRFFBB)∥22=∥vec⁡(Fopt)−(INs⊗FRF)vec⁡(FBB)∥22.\begin{aligned} \left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}^{2} &=\left\|\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)\right\|_{2}^{2} \\ &=\left\|\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}\right)-\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)\right\|_{2}^{2} \\ &=\left\|\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}\right)-\left(\mathbf{I}_{N_{s}} \otimes \mathbf{F}_{\mathrm{RF}}\right) \operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)\right\|_{2}^{2} . \end{aligned} ∥Fopt−FRFFBB∥F2=∥vec(Fopt−FRFFBB)∥22=∥vec(Fopt)−vec(FRFFBB)∥22=∥vec(Fopt)−(INs⊗FRF)vec(FBB)∥22.
进行变量代换后 (f=vec⁡(Fopt)\mathbf{f}=\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}\right)f=vec(Fopt),b=vec⁡(FBB)\mathbf{b}=\operatorname{vec}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)b=vec(FBB) and E=INs⊗FRF.\mathbf{E}=\mathbf{I}_{N_{s}} \otimes \mathbf{F}_{\mathrm{RF}} .E=INs⊗FRF.，原问题可写为：

minimize⁡b∥tf−Eb∥22subject to {∥b∥22=NRFtNsNtt2=1(5)\begin{aligned} &\underset{\mathbf{b}}{\operatorname{minimize}} \quad\|t \mathbf{f}-\mathbf{E b}\|_{2}^{2} \\ &\text { subject to } & \left\{\begin{array}{l} \|\mathbf{b}\|_{2}^{2}=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}} \\ t^{2}=1 \end{array}\right. \end{aligned}\tag{5} bminimize∥tf−Eb∥22 subject to {∥b∥22=NtNRFtNst2=1(5)

**这里必须强调的一点是，作者引入了 ttt这样一个辅助变量。这是SDR的常见技巧之一！**接下来阐释这个ttt的作用。

首先，对于原问题的影响上：以(5)求解之后，如果得到t=1t=1t=1，那么f\mathbf{f}f就是(4）的最优解。而如果t=−1t=-1t=−1，那么f\mathbf{f}f就是(4)的最优解的相反数，仍等效于得到了最优解。
其次，加入这个ttt辅助变量后，可以更好地将(5)写成SDR的标准形式。继续看：

目标函数可以写为：

∥tf−Eb∥22=[bHt][EHE−EHf−fHEfHf][bt]\|t \mathbf{f}-\mathbf{E b}\|_{2}^{2}=\left[\begin{array}{ll} \mathbf{b}^{H} & t \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \mathbf{E}^{H} \mathbf{E} & -\mathbf{E}^{H} \mathbf{f} \\ -\mathbf{f}^{H} \mathbf{E} & \mathbf{f}^{H} \mathbf{f} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \mathbf{b} \\ t \end{array}\right] ∥tf−Eb∥22=[bHt][EHE−fHE−EHffHf][bt]
注意到：此时令 y=[bt]\mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}\mathbf{b} \\ t\end{array}\right]y=[bt], C=[EHE−EHf−fHEfHf]\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{E}^{H} \mathbf{E} & -\mathbf{E}^{H} \mathbf{f} \\ -\mathbf{f}^{H} \mathbf{E} & \mathbf{f}^{H} \mathbf{f}\end{array}\right]C=[EHE−fHE−EHffHf], 上式就等于 yHCy\mathbf{y}^H\mathbf{C}\mathbf{y}yHCy，而C\mathbf{C}C是个显然的半正定矩阵：C=[E,−f]H[E,−f]\mathbf{C}=[\mathbf{E}, -\mathbf{f}]^H[\mathbf{E}, -\mathbf{f}]C=[E,−f]H[E,−f]，一个矩阵的共轭转置乘以本身肯定是半正定矩阵（可从特征值角度得证）。

那么(5)中的另外两个约束又可以转换为：
∥b∥22=[bHt][INRFtNs000][bt]=NRFtNsNtt2=[bHt][0NRFtNs001][bt]=1\begin{aligned}\|\mathbf{b}\|_{2}^{2} &=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{b}^{H} & t\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}_{N_{\mathrm{RF}}^{t}} N_{s} & 0 \\ \mathbf{0} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{b} \\ t\end{array}\right]=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}} \\ t^{2} &=\left[\begin{array}{ll}\mathbf{b}^{H} & t\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0_{N_{\mathrm{RF}}^{t}} N_{s} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\mathbf{b} \\ t\end{array}\right]=1 \end{aligned}∥b∥22t2=[bHt][INRFtNs000][bt]=NtNRFtNs=[bHt][0NRFtNs001][bt]=1

大家可以细致体会下，为什么SDR可以应用广泛的原因，因为大部分二次约束都可以通过稍加构造就写成QCQP的形式。

那么，最后经过一步变量代换：
y=[bt],Y=yyH,C=[EHE−EHf−fHEfHf]A1=[INRFtNs000],A2=[0NRFtNs001]\begin{aligned} &\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} \mathbf{b} \\ t \end{array}\right], \mathbf{Y}=\mathbf{y} \mathbf{y}^{H}, \mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{E}^{H} \mathbf{E} & -\mathbf{E}^{H} \mathbf{f} \\ -\mathbf{f}^{H} \mathbf{E} & \mathbf{f}^{H} \mathbf{f} \end{array}\right] \\ &\mathbf{A}_{1}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{I}_{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}} & 0 \\ \mathbf{0} & 0 \end{array}\right], \mathbf{A}_{2}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{0}_{N_{\mathrm{RF}}^{t}} N_{s} & 0 \\ \mathbf{0} & 1 \end{array}\right] \end{aligned} y=[bt],Y=yyH,C=[EHE−fHE−EHffHf]A1=[INRFtNs000],A2=[0NRFtNs001]

（5）终于可写为SDR的标准形式：
minimize⁡Y∈Hn(Tr⁡CY)subject to {Tr⁡(A1Y)=NRFtNsNtTr⁡(A2Y)=1Y⪰0,rank⁡(Y)=1\begin{aligned} &\underset{\mathbf{Y} \in \mathbb{H}^{n}}{\operatorname{minimize}} \underset{\operatorname{Tr}}(\mathbf{C Y}) \\ &\text { subject to }\left\{\begin{array}{l} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}_{1} \mathbf{Y}\right)=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}} \\ \operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}_{2} \mathbf{Y}\right)=1 \\ \mathbf{Y} \succeq 0, \operatorname{rank}(\mathbf{Y})=1 \end{array}\right. \end{aligned} Y∈HnminimizeTr(CY) subject to ⎩⎨⎧Tr(A1Y)=NtNRFtNsTr(A2Y)=1Y⪰0,rank(Y)=1
通过松弛掉最后一个约束，问题就可以通过凸优化直接求解。
最后必须强调，如何从Y\mathbf{Y}Y中恢复出b\mathbf{b}b（即原问题真正的目标）。首先，用特征值分解得到y\mathbf{y}y。此时 y\mathbf{y}y的最后一个元素大概率不是1，而按照定义案例ttt应该必须是1或−11或-11或−1。此时处理方式很简单，直接对最后一个元素取正负号，强行归成111或−1-1−1即可。而b\mathbf{b}b（ y\mathbf{y}y的前面的元素）也不符合∥b∥22=NRFtNsNt\|\mathbf{b}\|_{2}^{2}=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}}∥b∥22=NtNRFtNs的约束，此时的做法就是将b\mathbf{b}b强行归一化成∥b∥22=NRFtNsNt\|\mathbf{b}\|_{2}^{2}=\frac{N_{\mathrm{RF}}^{t} N_{s}}{N_{t}}∥b∥22=NtNRFtNs即可。操作非常简单，那么其对应的思路就是我们在上文中提到的：当得到了xxx后，以离xxx最近的可行解作为原问题的解。

实例2

再举个近期的实例好了。是来自于智能反射面相关paper 《Intelligent Reflecting Surface Enhanced Wireless
Network: Joint Active and Passive Beamforming Design》中，对于passive beamforming 的设计，同样使用了 SDR 算法。

原问题可以转化为这样的形式：
max⁡vvHΦΦHv+vHΦhd+hdHΦHvs.t. ∣vn∣=1,∀n=1,⋯,N\begin{array}{cl} \max _{\boldsymbol{v}} & \boldsymbol{v}^{H} {\Phi} \Phi^{H} \boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}^{H}{\Phi} \boldsymbol{h}_{d}+\boldsymbol{h}_{d}^{H}{\Phi}^{H} \boldsymbol{v} \\ \text { s.t. } & \left|v_{n}\right|=1, \forall n=1, \cdots, N \end{array} maxv s.t. vHΦΦHv+vHΦhd+hdHΦHv∣vn∣=1,∀n=1,⋯,N
简单而言，就是其余参数都已给定，要求优化向量v\mathbf{v}v，其中v\mathbf{v}v的每个元素需要满足恒模约束。
那么同样的，可以通过引入辅助变量 ttt，把问题转换为齐次的 QCQP 问题：

max⁡v‾v‾HRv‾s.t. ∣vˉn∣=1,∀n=1,⋯,N+1\begin{array}{cl} \max _{\overline{\boldsymbol{v}}} & \overline{\boldsymbol{v}}^{H} \boldsymbol{R} \overline{\boldsymbol{v}} \\ \text { s.t. } & \left|\bar{v}_{n}\right|=1, \forall n=1, \cdots, N+1 \end{array} maxv s.t. vHRv∣vˉn∣=1,∀n=1,⋯,N+1

其中，
R=[ΦΦHΦhdhdHΦH0],v‾=[vt]\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{\Phi} \Phi^{H} & \mathbf{\Phi} \boldsymbol{h}_{d} \\ \boldsymbol{h}_{d}^{H} \boldsymbol{\Phi}^{H} & 0 \end{array}\right], \quad \overline{\boldsymbol{v}}=\left[\begin{array}{l} v \\ t \end{array}\right] R=[ΦΦHhdHΦHΦhd0],v=[vt]

那么根据SDR的方法，令 V=vˉvˉH\mathbf{V}=\bar{\mathbf{v}}\bar{\mathbf{v}}^HV=vˉvˉH, 就可以将问题转化为：

max⁡Vtr⁡(RV)s.t. Vn,n=1,∀n=1,⋯,N+1,V⪰0\begin{array}{ll} \max _{\boldsymbol{V}} & \operatorname{tr}(\boldsymbol{R} \boldsymbol{V}) \\ \text { s.t. } & \boldsymbol{V}_{n, n}=1, \forall n=1, \cdots, N+1, \\ & \boldsymbol{V} \succeq 0 \end{array} maxV s.t. tr(RV)Vn,n=1,∀n=1,⋯,N+1,V⪰0

当然这里同样的放松掉了rank⁡(V)=1\operatorname{rank}(\boldsymbol{V})=1rank(V)=1这一约束。可以看到，上述问题已经是凸问题了，因为非凸的恒模约束经过转化后变成了 Vn,n=1,∀n=1,⋯,N+1\boldsymbol{V}_{n, n}=1, \forall n=1, \cdots, N+1Vn,n=1,∀n=1,⋯,N+1，这无疑是一个凸约束（可以用凸集的定义轻松得证）。

因此， SDR也是处理恒模约束的一种思路。

注意，这个例子的后续处理，也是从SDR解V\mathbf{V}V获得原问题可行解的一种经典思路：SDR + Gaussian randomization. 这种处理相比于上面提到的直接寻找欧氏距离最近的v\mathbf{v}v，会有通过复杂度提升换来的一定性能增益。

首先，对V\mathbf{V}V进行 EVD分解，得到V=UΣUH\boldsymbol{V}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{U}^{H}V=UΣUH，此时，我们令 v‾=UΣ1/2r\overline{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma}^{\mathbf{1} / \mathbf{2}} \boldsymbol{r}v=UΣ1/2r，其中r∈CN(0,IN+1)\boldsymbol{r} \in \mathcal{C} \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \boldsymbol{I}_{N+1}\right)r∈CN(0,IN+1)。注意，如果是上面提到的普通SDR方法， r=[1,0,⋯,0]\mathbf{r}=[1, 0, \cdots, 0]r=[1,0,⋯,0]，即vˉ\bar{\mathbf{v}}vˉ等于最大特征向量。而这里，引入了一个随机变量，使得我们尝试更多种的vˉ\bar{\mathbf{v}}vˉ，再选出使得目标函数值最大的vˉ\bar{\mathbf{v}}vˉ作为最优解。可以看到，这种方法其实就是通过遍历更多解来获得更好的性能。最后，还是把得到的vˉ\bar{\mathbf{v}}vˉ转换为可行解： v=ejarg⁡([vˉvˉN+1](1:N))\boldsymbol{v}=e^{j \arg \left(\left[\frac{\bar{v}}{\bar{v}_{N+1}}\right]_{(1: N)}\right)}v=ejarg([vˉN+1vˉ](1:N))。

代码

关于SDR 更细节一些的实现和相关代码，在下一篇博文经典的SDR算法（下）：SDR的具体使用细节与相关代码进行了更详细的介绍。

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经典的SDR算法：用半正定松弛法 ( Semidefinite Relaxation) 求解二次优化问题

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