二维图形学的变换-平移、旋转、缩放 OpenGL

这里实现的是多点画多边形，然后把这个多边形进行二维的变换。

首先，多点画多边形，为了方便起见，我直接调用了Opengl的库函数。其次，就是如何进行多边形的二维变换。在这里我有两种方法。第一种是直接根据数学三角等公式推断得到结果。第二种方法是用矩阵相乘的方法。

先讲第一种：

平移

假如我要平移a到b的位置：

那么操作就是：把这个多边形的n个顶点从一个位置移动到另外一个位置，然后重新生成平移后的多边形。（顶点知道了，那么就可以直接重新绘制多边形了）

大致代码就是：

Void translate2D(int x,int y){//x,y表示平移x、y的距离

For(int i=0;i<n;i++){

顶点[i].x=顶点[i].x+x;

顶点[i].y=顶点[i].y+y;

}

DrawPolygon();//这里表示重新绘制多边形

}

旋转（可以绕任意中心点旋转）

旋转原理：我们可以通过应用标准的三角等式得到旋转后的坐标。

根据上图，利用三角形的数学公式可以直接得出旋转后的公式：

伪代码如下：

Void rotate2D(int x,int y,double theta){//x,y为旋转的中心，theta为旋转的角度

For(inti=0;i<n;i++){

顶点[i].x=x+(顶点[i].x-x)*cos(theta)-(顶点[i].y-y)*sin(theta);

顶点[i].y=y+(顶点[i].x-x)*sin(theta)+(顶点[i].y-y)*cos(theta);

}

DrawPolygon();//这里表示重新绘制多边形

}

二维缩放（基于一个固定点缩放）

简单缩放可以直接通过将缩放系数sx,sy与对应x,y坐标相乘：x’=x*sx,y’=y*sy

当然，我们需要在一个固定点进行缩放，那么就需要我们选择一个在缩放变换后不改变位置的点，来控制缩放后对象的位置。

得到的公式则是：

其中sx,sy属于缩放系数。0~1表示缩小，>1表示放大

伪代码：

Void scale2D(int x,int y,float sx,float sy){//x,y表示固定坐标，sx,sy为缩放系数

For(inti=0;i<n;i++){

顶点[i].x=顶点[i].x*sx+x*(1-sx);

顶点[i].y=顶点[i].y*sy+y*(1-sy);

}

DrawPolygon();//这里表示重新绘制多边形

}

第二种方法（矩阵相乘）：

二维平移矩阵：

二维旋转矩阵：绕坐标系原点的而为旋转变换方程可以表示成矩阵形式：

x’,y’表示变换后的坐标。

如果要基于某个基准点旋转，则：

1.平移对象使基准点位置移动到坐标原点

2.绕坐标原点旋转

3.平移对象使基准点回到原始位置

矩阵公式则是：

二维缩放矩阵：（也是基于原点）

如何要基于某个固定点进行缩放，那么就需要二维复合变换矩阵。

基于某个固定点缩放原理：其实就是先平移然后再缩放，最后再返回到原点。

于是有：

上述矩阵就是基于某个固定点的缩放。

必须注意的是：复合矩阵求值的顺序一定不能交换，除非某些情况譬如连续两次旋转或者连续两次平移等等。

为什么需要用复合矩阵相乘？而不直接一次一次的变换得到结果呢？

因为直接进行复合矩阵的计算会减少乘法和加法次数。具体详解就不在此叙述。

来看最终完整版代码：

#include<gl/glut.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#pragma comment(linker,"/subsystem:\"Windows\"/entry:\"mainCRTStartup\"")
#define PI 3.14159265358
//q,w,e,r分别为平移，绘制多边形，旋转，缩放
#define TRANSLATE 0
#define DRAWPOLYGON 1
#define ROTATE 2
#define SCALE 3
int tran_x,tran_y;
int _xtmp,_ytmp;//作为缩放变量用
int mode=DRAWPOLYGON;//默认为绘制模式
using namespace std;
const int winwidth=800;
const int winheight=640;
struct position{double x;double y;
};
typedef GLfloat Matrix3x3[3][3];
Matrix3x3 matComposite;//复合矩阵
vector<position> xy;
position tmp;
void DrawPolygon();
void dragmouse(int x,int y);
void mymouse(int button,int state,int x,int y);
void myKeyboard(unsignedchar key,int x,int y);
void myKeyboardUp(unsignedchar key,int x,int y);
//设置为单位矩阵
voidmatrix3x3SetIdentity(Matrix3x3mat){GLint row,col;for(row=0;row<3;row++){for(col=0;col<3;col++)mat[row][col]=(row==col);}
}
void init(){glClearColor(1.0,1.0,1.0,1.0);//设置绘制窗口颜色为白色glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清除窗口显示内容/*设置为投影类型模式和其他观察参数*/glPointSize(3.0f);glColor3f(1.0,0.0,0.0);//设置颜色为红glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(0,winwidth,winheight,0);matrix3x3SetIdentity(matComposite);
}//矩阵相乘
void matrixpreMultiply(Matrix3x3m1,Matrix3x3m2){GLint row,col;Matrix3x3 tmp;for(row=0;row<3;row++){for(col=0;col<3;col++){tmp[row][col]=m1[row][0]*m2[0][col]+m1[row][1]*m2[1][col]+m1[row][2]*m2[2][col];}}for(row=0;row<3;row++){for(col=0;col<3;col++){m2[row][col]=tmp[row][col];}}
}
//平移
void translate2D(GLfloattx,GLfloatty){Matrix3x3 matTransl;matrix3x3SetIdentity(matTransl);//设置为单位矩阵matTransl[0][2]=tx;matTransl[1][2]=ty;matrixpreMultiply(matTransl,matComposite);}
//旋转
void rotate2D(intx,inty,floattheta){theta=theta/180*PI;Matrix3x3 matRot;matrix3x3SetIdentity(matRot);matRot[0][0]=cos(theta);matRot[0][1]=-sin(theta);matRot[0][2]=x*(1-cos(theta))+y*sin(theta);matRot[1][0]=sin(theta);matRot[1][1]=cos(theta);matRot[1][2]=y*(1-cos(theta))-x*sin(theta);matrixpreMultiply(matRot,matComposite);
}//缩放
void scale2D(GLfloatsx,GLfloatsy,intx,inty){Matrix3x3 matScale;matrix3x3SetIdentity(matScale);matScale[0][0]=sx;matScale[0][2]=(1-sx)*x;matScale[1][1]=sy;matScale[1][2]=(1-sy)*y;matrixpreMultiply(matScale,matComposite);
}
//复合矩阵
void transformVerts2D(){GLfloat tmp;for(int i=0;i<xy.size();i++){tmp=matComposite[0][0]*xy[i].x+matComposite[0][1]*xy[i].y+matComposite[0][2];xy[i].y=matComposite[1][0]*xy[i].x+matComposite[1][1]*xy[i].y+matComposite[1][2];xy[i].x=tmp;}DrawPolygon();matrix3x3SetIdentity(matComposite);
}//绘制多边形
void DrawPolygon(){
//  glEnable(GL_POLYGON_STIPPLE);glPolygonMode(GL_BACK,GL_LINE);//设置反面为线性模式glPolygonMode(GL_FRONT,GL_LINE);//设置正面为线性模式glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清除窗口显示内容glBegin(GL_POLYGON);for(unsignedint i=0;i<xy.size();i++){glVertex2f(xy[i].x,xy[i].y);}glEnd();glFlush();
}//鼠标拖动
void dragmouse(intx,inty){float ssx=1,ssy=1;switch (mode){//q,w,e,rcase TRANSLATE:translate2D(x-tran_x,y-tran_y);transformVerts2D();tran_x=x;tran_y=y;break;case DRAWPOLYGON:      break;case ROTATE:if(x<=_xtmp&&y>=_ytmp)rotate2D(tran_x,tran_y,-8);elserotate2D(tran_x,tran_y,8);transformVerts2D();_xtmp=x;_ytmp=y;break;case SCALE:/*不等比例缩放*/if(x>_xtmp){ssx+=0.01f;}else if(x<_xtmp&&ssx>0){ssx-=0.01f;}if(y<_ytmp){ssy+=0.01f;}else if(y>_ytmp&&ssy>0){ssy-=0.01f;}/*等比例缩放if(x<=_xtmp&&y>=_ytmp){ssx-=0.01f;ssy-=0.01f;}else{ssx+=0.01f;ssy+=0.01f;}*/scale2D(ssx,ssy,tran_x,tran_y);transformVerts2D();_xtmp=x;_ytmp=y;break;default:break;}}//鼠标监听
void mymouse(intbutton,intstate,intx,inty){if(button==GLUT_LEFT_BUTTON &&state==GLUT_DOWN){switch (mode){//q,w,e,rcase TRANSLATE:tran_x=x;tran_y=y;break;case DRAWPOLYGON:      tmp.x=x;tmp.y=y;xy.push_back(tmp);DrawPolygon();break;case ROTATE:tran_x=x;tran_y=y;_xtmp=x;_ytmp=y;break;case SCALE:tran_x=x;tran_y=y;break;default:break;}}}
//键盘监听
void myKeyboard(unsignedcharkey,intx,inty){//清空删除if(key=='a'){glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清除窗口显示内容glFlush();xy.clear();}}void myKeyboardUp(unsignedcharkey,intx,inty){switch (key){case 'q':mode=TRANSLATE;break;case 'w':mode=DRAWPOLYGON;break;case 'e':mode=ROTATE;break;case 'r':mode=SCALE;break;default:break;}
}
void myDisplay(){glFlush();
}
void mymenu(intid){if(id==0)mode=0;else if(id==1)mode=1;else if(id==2)mode=2;else if(id==3)mode=3;
}int main(intargc,char**argv){glutInit(&argc,argv);//初始化glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE |GLUT_RGB);//设置绘制模式glutInitWindowPosition(500,300);glutInitWindowSize(winwidth,winheight);glutCreateWindow("二维图形的变换");//创建窗口int id=glutCreateMenu(mymenu);glutAddMenuEntry("平移",0);glutAddMenuEntry("绘制多边形",1);glutAddMenuEntry("旋转",2);glutAddMenuEntry("缩放",3);glutAttachMenu(GLUT_RIGHT_BUTTON);init();glutDisplayFunc(myDisplay);glutMouseFunc(mymouse);//鼠标监听回调函数glutMotionFunc(dragmouse);//鼠标拖动glutKeyboardFunc(myKeyboard);//键盘监听glutKeyboardUpFunc(myKeyboardUp);//键盘弹起状态glutMainLoop();
}

上述默认是绘制模式，如果需要平移，按一下键盘Q，然后按住鼠标左键拖动就可以平移，旋转，缩放也是一样的道理。

最终结果自己运行去吧~O(∩_∩)O哈哈~

以上代码我用的是VS2012+OpenGL环境运行。可以正确运行。

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