函数单调性的常用判断方法及应用

湖北麻城：阮 晓 锋

单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？

判断函数单调性的常用方法有：

⑴利yizhi 用增(减)函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例) ； ⑶利用图象进行判断；

⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断(含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数)； ⑸利用一些重要结论进行判断：

①若f(x)在区间D 上是增(或减)函数，则它在D 的任意子区间上也是增(减) 函数； ②f(x)+C与f(x)具有相同的单调性(C 为常数)；

③当C>0(或C

⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 ⑴若函数f(x)=a

x

2

+x 在(0，+∞)上单调递增，则a 的取值范围为_____;

2⎧⎪x +1, x ≥0, 2

⑵已知函数f(x)=⎨, 则不等式f(1-x )>f(2x)的取值范围为_____。

⎪⎩ 1 , x

解：⑴填[0，+∞)，理由如下

①当a=0时显然符合题设要求；

1

，+∞上单调递减，不可能符合题意； 2a 1

③当a>0时，由二次函数单调性知它在[-，+∞)上单调递增 2a

1

则得(0，+∞)⊆[-，+∞) 2a

1

∴得-≤0且a>0解之得a>0 2a

②当a

⑵先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在[0，+∞)上单调递增，且当x ≤0时f(x)=0er

22

⎧⎪1-x >0⎧⎪1-x >2x

或⎨ 从而得⎨解之得

⎪⎪⎩2x ≤0⎩2x >0

故本题应填(-1，2-1)

例2：已知函数f(x)=

x x -a

⑴若a=-2，试证：f(x)在(-∞,-2) 内单调递增；

⑵若a>0且f(x)在(1,+∞) 内单调递减，求a 的取值范围。 解：⑴若a=-2,则f(x)= 任取

x x +2

x ，x

11

2є(-∞,-2) ，且使得

x

1

2, 则有

x +2

1

2+2

且

x -x

1

2

f(

x )-f(x

2)=

x 1+2

1

-

x 2+2

2

=

(x 1+2)(x 2+2)

2(1-2)

x )

1

2)

故f(x)在(-∞,-2) 内单调递增。

x a =1+知f(x)在(a,+∞) 内单调递减 x -a x -a

依题意得a>0且(1,+∞) ⊆(a,+∞)

⑵若a>0,则由f(x)=

⎧a >0 ∴⎨解之得0

a ≤1⎩

故此时a 的取值范围为(0,1]. 例3：是否存在实数a ，使得f (x)=

log

a

(ax-2x ) 在区间上是增函数？若存在，求出a

的取值范围；若不存在，试说明理由。

解：由ax -2x >0得x>

4

a

2

, 故原函数的定义域为(

4

a

2

，+∞)。

令t=ax -2x ,x є(

4

a

2

，+∞)，则y=f(X)=

2

log

2

a

t

∵t=ax -2x =a

1-1

x -a a

a

2

在x є(

4

a

，+∞)上单调递增

∴依题意得y=

log

4

t 为增函数且t>0对x є(

4

a

2

，+∞)恒成立

⎧a >1⎪

4∴⎨a ⨯-22 ⎪

⎩a

a

2

≥0，解之得a>1

故a 的取值范围为(1,+∞).

练习题：

(3a -1)x +4a, x

x , x ≥1⎪⎩log a

是( )

A,(0,1) B.(0,1/3) C.[1/7,1/3) D.(1/7,1) 题2：⑴若y=

log

a

(2-ax) 在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围为_____;

⑵若函数f(x)=题3：设f(x)=

ax +2

在(-2,+∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围为_____. x +2

x

2

-2ax+2,当x є(-1,+∞) 时f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围。

题4：设函数的定义域为R ，当x>0时f(x)>0，且对任意的x,y єR 有f(x+y)=f(x)f(y)，试 解不等式f(x)≤

1

.

f(x +1)

题5：已知函数

f (x)=

2

+2x +a x

，x є[1,+∞)

⑴当a=1/2时，求函数f (x )的最小值；

⑵若对任意x є[1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围。 附答案提示：

题1：选C 题2：⑴(1,2);⑵(1，+∞) 题3：

f

2

⎧⎪2-a , a ≥-1,

(x)min =⎨可得a є[-3,1]

⎪2a +3, a

题4：f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)在R 上单调递增，可求得解集为(-∞，-

题5：⑴当a=1/2时，f (X )在[1，+∞)上的最小值为f (1)= ⑵a 的取值范围为(-3，+∞)

1] 2

7 2