弹性力学偏微分方程组及其边界条件

弹性力学是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，在机械、海洋工程、岩土工程、建筑工程、化工、航天等工程领域有着广泛的应用。本文的主题是弹性力学的基础方程组：各向同性弹性体的方程组构建及其边界条件的分析。

（一）几何方程

按照惯例，先请出我们的笛卡尔坐标系。

如上图，在笛卡尔坐标中选取一个小小的弹性体ABCDEFGH，边长分别为dx、dy、dz，在力的作用下经过的位移伸缩膨胀等变形变成了A′B′C′D′E′F′G′H′。我们取其中的对角线EC，变形前长度为dr，变形后为E′C′长度为dr′。

如上图所示：在运动的过程中产生位移矢量u，E点的位矢量uE，C点的位矢量uC，两个位矢量的差值du = uC-uE，而且满足du = u∇·dr，∇为哈密顿算子

用图表示如下：

于是有：

定义：

G称为格林应变张量，由于∇u·u∇很小可以忽略。因此，得应变张量的几何方程：

且有

（二）平衡方程

以上完成了应变方程，也就是几何方程的推导，下面是应力方程，也就是平衡方程的推导。

如上图，依然在我们熟悉的笛卡尔坐标系中取一个弹性体，T（n)表示其表面力，F 表示其体积力，由于整个弹性体处于平衡状态，于是有：

由于T（n) = σ·n其中，

为六面体应力张量。

根据散度定理：

得： ∇·σ + F = 0

于是我们得到了应力平衡方程。

（三）本构方程

剩下最后一个方程：本构方程。

我们们假定弹性体是线性的，而且是各向同性的。

由于

令C为弹性张量，为四阶张量，其分量满足：

上面通过微分表达式推出了弹性张量，但是我们关心的是应力与应变关系应该满足的具体方程。有一个办法是直接对上述的微分表达式直接积分，于是我们可以得到这个方程：σ = C ：ε ，但是这个方程组涉及到四阶张量，而且看起来形态差一些。我们需要一个类似以上几何方程和平衡方程一样更加实用一点的。

由于 σ、ε都是对称张量，由于材料又是各向同性的线性材料，各向同性线性材料的本构函数关系满足：σ =b E +k ε ,其中，为单位张量，b、k 为常数标量。

最普遍的各向同性的弹性张量有一个很好的性质，它可以写成如下表达式：

其中，若i =j,则δij = 1,否则δij= 0，λ、μ、γ为常数。

则可得到：

上式转化成张量形式得：

σ =λJ（ε）E + 2με

其中，σ为应力张量，E为单位张量，ε为应变张量，J（ε）为应变张量第一主不变量。

（四）弹性力学偏微分方程组

通过以上的推导，我们得到了三个重要的方程：

以上便是弹性力学的几何方程、弹性力学教程王敏中文档下载平衡方程和本构方程。联立以上三个方程可进一步得到以位移矢量表示的偏微分方程：

其中∆ =∇2为拉普拉斯算子 ν 为泊松比。

（五）方程边界条件

有了方程组，还不完善，我们还需要它的边界条件，弹性力学偏微分方程的边界同样的有三个。

u = u0

n·σ = T

n·σ + ku= 0

以上三个边界条件分别称为第一类边界条件（Dirichlet边界条件）、第二类边界条件（Neumann边界条件）、第三类边界条件。

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