一.什么是树结构？

树（Tree）结构是一种描述非线性层次关系的数据结构。树是n个数据结点的集合，在该集合中包含一个根结点，根结点下分布着一些互不交叉的子集合，这些子集合是根结点的子树。

树结构的基本特征如下：

在一个树结构中，有且仅有一个结点没有直接前驱，这个结点就是树的根结点。

除根结点外，其余每个结点有且仅有一个直接前驱。

每个结点可以有任意多个直接后继。

一个树结构也可以是空，空树没有数据结点，也就是一个空集合。

如果树结构中仅包含一个结点，那么这也是一个树，树根便是该结点自身。

二.树的基本概念

1.父结点和子结点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，相应的，该结点称为其子结点的父结点。

2.兄弟结点：具有同一父结点的子结点。

3.结点的度：一个节点所包含子树的数量。

4.树的度：是该树所有结点中最大的度。

5.叶结点：树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。

6.分支结点：树中度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。

7.结点的层数：结点的层数从树根开始计算，根结点为第1层，依次向下为第2、3、......、n层（树是一种层次结构，每个结点都处在一定层次上）。

8.树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度。

9.有序树：若树中各结点的子树（兄弟结点）是按一定次序从左向右排列的，称为有序树。

10.无序树：若树中各结点的子树（兄弟结点）未按一定次序排列，称为无序树。

11.森林（forest）：n（n>0）棵互不相交的树的集合。

三.二叉树

1.什么是二叉树？

二叉树是数据结构的一种特殊形式，它是n个结点的结合，每个结点最多只能有两个子结点。二叉树的子树仍然是二叉树。二叉树的一个结点上对应的两个子树分别称为左子树和右子树。由于子树有左右之分，因此二叉树是有序树。

二叉树结点的最大度是2。

二叉树有左右子树的区别。

2.特殊的二叉树

（1）满二叉树

满二叉树即在二叉树中除最下一层的叶结点外，每层的结点都有两个子结点。而且结点总数为：2^n-1。n是树的高度。

（2）完全二叉树

完全二叉树即在除二叉树最后一层外，其他各层的结点树都达到最大个数，且最后一层叶结点按照从左向右的顺序连续存在，只缺最后一层右侧若干结点。

若树中包含n个结点，对于任意一个结点m来说，有如下性质：

如果m!=1,则结点m的父结点的编号为m/2；

如果2*m<=n，则结点m的左子树根结点的编号为2*m；若2*m+1>n，则无左子树，也没有右子树；

如果2*m+1<=n,则结点m的右子树根结点编号为2*m+1；若2*m+1>n,则无右子树。

对于该完全二叉树来说，其深度为[log2n]+1。

满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。

3.二叉树的顺序存储

树结构的顺序存储一般采用一维结构数组来表示。

由于非完全二叉树，需要将缺少的部分填充为空，顺序存储填充了大量无用数据，且浪费存储空间。

因此顺序存储的二叉树通常情况只考虑完全二叉树。

第n个元素的左子结点是2*n+1

第n个元素的右子结点是2*n+2

第n个元素的父结点是(n-1)/2

（1）二叉树抽象类

package cn.kimtian.tree.arraybinarytree;

/**

* 顺序存储的二叉树

*

* @author kimtian

*/

public class ArrayBinaryTree {

/**

* 一个存储树的数组

*/

int[] data;

public ArrayBinaryTree(int[] data) {

this.data = data;

}

}

（2）给二叉树赋值

package cn.kimtian.tree.arraybinarytree;

/**

* 创建一个顺序存储的二叉树

*

* @author kimtian

*/

public class TestArrayBinaryTree {

public static void main(String[] args) {

int[] a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};

ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(a);

}

}

4.二叉树的链式存储

（1）二叉树抽象类

package cn.kimtian.tree;

/**

* 链式存储的二叉树

*

* @author kimtian

*/

public class BinaryTree {

/**

* 根结点

*/

TreeNode root;

/**

* 设置根结点

*

* @param root 根结点

*/

public void setRoot(TreeNode root) {

this.root = root;

}

/**

* 获取根结点

*

* @return TreeNode 根结点

*/

public TreeNode getRoot() {

return root;

}

}

（2）二叉树的结点

package cn.kimtian.tree;

/**

* 树里面的结点

*

* @author kimtian

*/

public class TreeNode {

/**

* 树里面的值，结点的权

*/

int value;

/**

* 左儿子

*/

TreeNode leftNode;

/**

* 右儿子

*/

TreeNode rightNode;

public TreeNode(int value) {

this.value = value;

}

public void setLeftNode(TreeNode leftNode) {

this.leftNode = leftNode;

}

public void setRightNode(TreeNode rightNode) {

this.rightNode = rightNode;

}

}

（3）给二叉树赋值

package cn.kimtian.tree;

/**

* 测试链式存储的二叉树

*

* @author kimtian

*/

public class TestBinaryTree {

public static void main(String[] args) {

//创建一棵树

BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();

//创建一个根结点

TreeNode root = new TreeNode(1);

//将根结点赋给树

binaryTree.setRoot(root);

//创建一个子左结点

TreeNode leftTwo = new TreeNode(2);

//创建一个子右结点

TreeNode rightTwo = new TreeNode(3);

//给根的左结点赋值

root.setLeftNode(leftTwo);

//给根的右结点赋值

root.setRightNode(rightTwo);

}

}