BZOJ2395: [Balkan 2011]Timeismoney

乘积规划…神犇称其为隐式自适应凸包…
设每棵生成树为坐标系上的一个点，sigma(x[i])为横坐标，sigma(y[i])为纵坐标。则问题转化为求一个点，使得xy=k最小。
注意到这是一个反比例函数。所以显然的，有可能成为最优解的点集是一个凸包。
首先找到x最小的点A与y最小的点B，再找到离AB最远的点C，形成了一个三角形，这个三角形内部的点不可能成为最优答案（最优解的点集是一个凸包），所以我们继续递归AC，CB即可，对于找到的每一个点C尝试更新答案即可。
photo
怎么找到离一条直线最远的点呢？因为C离AB最远，所以S△ABC面积最大。即向量AB与向量AC的叉积最小（因为叉积是有向面积，是负数，所以取最小）
最小化：(B.x-A.x)(C.y-A.y)-(B.y-A.y)(C.x-A.x)
=(B.x-A.x)C.y+(A.y-B.y)*C.x - A.y(B.x-A.x)+A.x(B.y-A.y)
后面部分是常数，也就是最小化前面的部分。
将每条边的边权e[i].w设为e[i].t*(a.y-b.y)+e[i].c*(b.x-a.x);跑一遍最小生成树即可。
当叉积为正时，就是找不到一个那样的C点，return即可
有一个小技巧，kruskal记录下当前已经合并了的联通块的个数，是个小常数剪枝。还是比较有用的。
复杂度我也不知道…>_<…因为凸包上的点不会很多，所以速度应该还不错…如果谁能证明求告知…

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
//by:MirrorGray
using namespace std;
const int N=211111;
int n,m,fa[N];
struct P{int x,y;P(int a=0,int b=0){x=a;y=b;}P operator -(const P&b){return P(x-b.x,y-b.y);}friend int X(const P&a,const P&b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}bool operator <(const P&b)const{if(x*y!=b.x*b.y)return x*y<b.x*b.y;return x<b.x;}void op(){printf("%d %d\n",x,y);}
}ans;
struct edge{int a,b,t,c,w;void read(){scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&t,&c);a++;b++;}bool operator <(const edge&b)const{return w<b.w;}
}e[N];int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}P kruskal(){P ret;int tmp=0;sort(e+1,e+1+m);for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;for(int i=1;i<=m&&tmp<n-1;i++){int fx=find(e[i].a),fy=find(e[i].b);if(fx==fy)continue;tmp++;fa[fx]=fy;ret.x+=e[i].t;ret.y+=e[i].c;}ans=min(ans,ret);return ret;
}void solve(P a,P b){for(int i=1;i<=m;i++)e[i].w=e[i].t*(a.y-b.y)+e[i].c*(b.x-a.x);P c=kruskal();if(X(b-a,c-a)>=0)return ;solve(a,c);solve(c,b);
}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);ans=P(40000,40000);for(int i=1;i<=m;i++)e[i].read();for(int i=1;i<=m;i++)e[i].w=e[i].t;P t1=kruskal();for(int i=1;i<=m;i++)e[i].w=e[i].c;P t2=kruskal();solve(t1,t2);ans.op();return 0;
}

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