傅里叶变换家族的关系

Dirichlet给出了傅里叶变换的收敛条件
FT：时域连续，频域连续
FS：时域连续，频域离散
DTFT：时域离散，频域连续
DFT：时域离散，频域离散
离散用求合公式，连续用积分公式

FT：CTFT
FS：CTFS
DTFT
DFT：DTFS
离散对应周期
时域离散，在频域为周期；频域离散，在时域为周期。

FT： e i w t e^{i w t} eiwt，对时间连续采样
对w进行离散、对t进行离散、对w与t都进行离散就分别得到了：FS、DTFT、DFT
DTFT： e i w n T s e^{i w n T_s} eiwnTs
FS： e i k w s t e^{i k w_s t} eikwst
DFT： e i k w s n T s e^{i k w_s n T_s} eikwsnTs
时域采样间隔为 T s T_s Ts，频域采样间隔为 w s w_s ws（角频率 w s = 2 π f s w_s=2\pi f_s ws=2πfs）
时域离散，频域周期；时域连续，频域非周期。
频域离散，时域周期；频域连续，时域非周期。
DFT时域与频域都为周期

DTFT：时域无限序列变换为频域连续函数
FS：时域连续函数变换为频域无限序列，
DFT：时域有限序列变换为频域有限序列
FT：时域连续函数变换为频域连续函数
求和时，连续函数对应积分，无限序列对应无穷累加，有限序列对应有限累加。

疑问：如何理解DFT时域与频域都为周期？
隐含周期性
时间周期序列 x [ n ] = x [ n + T ] x[n]=x[n+T] x[n]=x[n+T]
频率周期序列 X [ k ] = X [ k + F ] X[k]=X[k+F] X[k]=X[k+F]
周期函数经过FT 离散函数
离散函数经过FT 周期函数
离散周期函数经过FT 离散周期函数

A visual explanation of aliasing and repetition with the DTFT

后面这些是我得一些积累，可以不看

级数

一个有穷或无穷的序列的和称为级数。对于无穷级数，如果和存在一个极限，则称之为无穷收敛级数。

随机

随机过程是随机变量的集合。
随机变量X是一个函数，样本空间S，实数R， X : S → R X:S \rightarrow R X:S→R 。

映射mapping：设A，B是两个非空集合，若对A中的任一元素x, 依照某种规律（或法则）f, 恒有B中的唯一确定的元素y与之对应，则称对应规律为一个从到的映射。记作， f : A → B f:A \rightarrow B f:A→B，也记作 f : x → y f:x \rightarrow y f:x→y 。

确定性与非确定性，非确定性包括随机性。随机信号有平稳随机与非平稳随机信号，平稳随机信号有各态历经与非各态历经信号。

离散复序列

x [ x ] = e j w n , x [ x + N ] = e j w ( n + N ) x[x]=e^{jwn}, x[x+N]=e^{jw(n+N)} x[x]=ejwn,x[x+N]=ejw(n+N)
因此 e j w N = 1 e^{jwN}=1 ejwN=1
推出 w N = 2 π l wN=2\pi l wN=2πl

系统的分类

无记忆：输出只与当前时刻输入有关
线性：输入与输出具有相同的线性组合。齐次性、叠加性
时不变：系统不随时间变化
因果：当前输出仅取决于当前及以前的输入
稳定：如果输入有界，输出也有界
LTI：线性时不变
初始松弛：系统输入为0，输出为0

实数DFT的单边与双边变换

双边FT有正负频率，单边FT只有正频率，双边的幅值是单边的1/2
实数序列
x = [ x 0 , x 1 , . . . , x N − 1 ] x = [x_0,x_1,...,x_{N-1}] x=[x0,x1,...,xN−1]
双边谱
X = [ X 0 , X 1 , . . . , X N − 1 ] X = [X_0,X_1,...,X_{N-1}] X=[X0,X1,...,XN−1]
特性
X N − i = X i ∗ X_{N-i} = X^{*}_i XN−i=Xi∗

分类讨论
N为奇数
双边谱 X = [ X 0 , X 1 , . . . , X ( N − 1 ) / 2 , X ( N − 1 ) / 2 ∗ , . . . , X 1 ∗ , X 0 ∗ ] X = [X_0,X_1,...,X_{(N-1)/2},X_{(N-1)/2}^{*},...,X_1^{*},X_0^{*}] X=[X0,X1,...,X(N−1)/2,X(N−1)/2∗,...,X1∗,X0∗]
单边谱 X = [ X 0 , X 1 , . . . , X ( N − 1 ) / 2 ] X = [X_0,X_1,...,X_{(N-1)/2}] X=[X0,X1,...,X(N−1)/2]
N为偶数
双边谱 X = [ X 0 , X 1 , . . . , X ( N − 2 ) / 2 , X N / 2 , X ( N − 2 ) / 2 ∗ , . . . , X 1 ∗ , X 0 ∗ ] X = [X_0,X_1,...,X_{(N-2)/2},X_{N/2},X_{(N-2)/2}^{*},...,X_1^{*},X_0^{*}] X=[X0,X1,...,X(N−2)/2,XN/2,X(N−2)/2∗,...,X1∗,X0∗]
单边谱 X = [ X 0 , X 1 , . . . , X ( N − 2 ) / 2 , X N / 2 ] X = [X_0,X_1,...,X_{(N-2)/2},X_{N/2}] X=[X0,X1,...,X(N−2)/2,XN/2]

信号处理：单边、双边频谱间的相互转换（转）

解析信号

解析信号（英语：analytic signal）是没有负频率分量的复值函数。解析信号的实部和虚部是由希尔伯特变换相关联的实值函数。

埃尔米特函数： f ( − x ) = f ∗ ( x ) f(-x)=f^{*}(x) f(−x)=f∗(x)
实函数的傅里叶变换为埃尔米特函数
埃尔米特函数的傅里叶变换为实函数
由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换的负频率成分是多余的。

相量Phasor： y = A s i n ( w t + ϕ ) y=Asin(wt+\phi) y=Asin(wt+ϕ)，相量为 A e j ϕ Ae^{j\phi} Aejϕ
解析表示是相量概念的一个推广：相量限制在时不变的幅度、相位和频率，解析信号允许有时变参数

f(t)的希尔伯特变换：f(t)的希尔伯特变换为 H ( f ) ( t ) = f ( t ) ∗ 1 π t H(f)(t) = f(t)*\frac{1}{\pi t} H(f)(t)=f(t)∗πt1
H ( f ) ( t ) = H [ f ( t ) ] H(f)(t)=H[f(t)] H(f)(t)=H[f(t)]
f(t)的解析信号： f a ( t ) = f ( t ) + j H ( f ) ( t ) f_a(t) = f(t) + jH(f)(t) fa(t)=f(t)+jH(f)(t)

包络与瞬时相位
f a ( t ) = f m ( t ) e j ϕ ( t ) f_a(t) = f_m(t)e^{j\phi(t)} fa(t)=fm(t)ejϕ(t)
f m ( t ) = a b s ( f a ( t ) ) f_m(t) = abs(f_a(t)) fm(t)=abs(fa(t))为瞬时幅值或包络
ϕ ( t ) = a n g l e ( f a ( t ) ) \phi(t) = angle(f_a(t)) ϕ(t)=angle(fa(t))为瞬时相位
d ϕ ( t ) d t \frac{d \phi (t)}{dt} dtdϕ(t)为瞬时角频率，除以 2 π 2 \pi 2π为瞬时频率

复包络/复基带
f ˉ a ( t ) = f a ( t ) e − j w 0 t \bar{f}_a(t) = f_a(t)e^{-jw_0 t} fˉa(t)=fa(t)e−jw0t
基带：是频率范围非常窄的信号，也就是说幅度谱仅在原点（f = 0）附近才是非零的，其他频率几乎可以忽略

谱的术语

power spectrum
energy spectral density
power spectral density
cross power spectral density
stochastic or random process
spatial frequency
Deterministic Signals
Random Signals
Spectral Estimation
Periodogram
Rational Spectra 有理谱
Line Spectra 线谱