漫话线性代数：线性变换的几何解释

网购了一本书，说的是线性代数的几何解释。一口气读完，感觉这部书有些贪多了，什么细节都要弄个几何解释，不免让琐碎的细节把关键性的主题给遮掩了。所以萌生一个念头，把线性代数的核心概念和理论和语言梳理一下，帮助初学者深入理解这些内容。

搞清楚线性变换的几何解释，是理解线性代数关键中的关键。

1 线性代数喜欢列向量

我们刚学习向量的时候，往往首先接触的是行向量。其实，线性代数喜欢列向量。使用列向量，可以更容易理解线性代数的几何意义。

2 直角坐标系里的向量的坐标

我们从一个平面直角坐标系开始。假设平面直角坐标系的两个坐标轴的基向量分别是 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 \vec e_1, \vec e_2 e 1,e 2，
e ⃗ 1 = [ 1 0 ] , e ⃗ 2 = [ 0 1 ] (1) \tag1 \vec e_1 = \left [ \begin{array}{l} 1\\ 0\\ \end{array} \right], \ \ \ \vec e_2 = \left [ \begin{array}{l} 0\\ 1\\ \end{array} \right] e 1=[10], e 2=[01](1)

假设此坐标系下有一向量 x ⃗ \vec x x :
x ⃗ = [ x 1 x 2 ] (2) \tag2 \vec x= \left[ \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] x =[x1x2](2)

显然有：
x ⃗ = e ⃗ 1 ⋅ x 1 + e ⃗ 2 ⋅ x 2 (3) \tag3 \vec x = \vec e_1 \cdot x_1 + \vec e_2 \cdot x_2 x =e 1⋅x1+e 2⋅x2(3)

即：
x ⃗ 1 = [ 1 0 0 1 ] [ x 1 x 2 ] (4) \tag4 \vec x_1= \left[ \begin{array}{l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] x 1=[1001][x1x2](4)

3 仿射坐标系里的向量的坐标

假设我们把上述直角坐标系做一个仿射变换，把这个坐标系所有的点投影到新的坐标系中，坐标原点仍然投影到新坐标系的 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 点。假设 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 \vec e_1, \vec e_2 e 1,e 2 投影后的坐标为：

e ⃗ 1 = [ a 11 a 21 ] , e ⃗ 2 = [ a 12 a 22 ] (5) \tag5 \vec e_1 = \left [ \begin{array}{l} a_{11}\\ a_{21}\\ \end{array} \right], \ \ \ \vec e_2 = \left [ \begin{array}{l} a_{12}\\ a_{22}\\ \end{array} \right] e 1=[a11a21], e 2=[a12a22](5)

向量 x ⃗ \vec x x 在仿射坐标系中与 e ⃗ 1 , e ⃗ 2 \vec e_1, \vec e_2 e 1,e 2 的关系仍然符合 (3) 式，显而易见， x ⃗ \vec x x 在新的坐标系下的坐标满足下面的关系：
[ y 1 y 2 ] = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] (6) \tag6 \left[ \begin{array}{l} y_1\\ y_2 \end{array}\right]= \left[ \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] [y1y2]=[a11a21a12a22][x1x2](6)

原来，线性变换用来计算一个直角坐标系经过仿射变换后，原坐标系向量 ( x 1 , x 2 ) T (x_1,x_2)^T (x1,x2)T 在变换后的新坐标 ( y 1 , y 2 ) T (y_1,y_2)^T (y1,y2)T。其实这个仿射变换，就是我们讨论的线性变换。

换句话讲，线性变换矩阵，实际上就是由原直角坐标系的基向量在线性变换之后的坐标组合而成的。也就是说，(6)式的本质就是下面的形式：
[ y 1 y 2 ] = [ a 11 a 21 ] x 1 + [ a 12 a 22 ] x 2 (7) \tag7 \left[ \begin{array}{l} y_1\\ y_2 \end{array}\right]= \left[ \begin{array}{l} a_{11}\\ a_{21} \\ \end{array} \right] x_1+ \left[ \begin{array}{l} a_{12} \\ a_{22} \\ \end{array} \right] x_2 [y1y2]=[a11a21]x1+[a12a22]x2(7)