c语言中直角坐标求极径极角,极坐标与参数方程基础知识附重点题型

高中数学回归课本校本教材24

(一)基础知识参数极坐标

1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2.常见的曲线的极坐标方程

(1)直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：

正弦定理

sin sin OP OM

OMP OPM

∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； (2)圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；

(3)圆锥曲线极坐标：1cos ep

e ρθ

-，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01

e <

24cos ρθ

=-表示的曲线

是双曲线

3.参数方程：(1)圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-=

(2)椭圆22

221x y a b +=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==

(3)直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00

cos sin x x y y t θθ

--==，即00cos sin x x t y y t α

=+??

=+?注：0c o s x x t θ-=

，0

sin y y t

θ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP 的数量00000()00.

t l M M x y M M M M M M t M M t >

如：将参数方程2

2sin (sin x y θ

θθ

?=+??=??为参数)化为普通方程为2(23)y x x =-≤≤ 将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤；

4. 极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2

tan (0)x

y y

x x

ρθ?

=+?

=≠??

，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. (1)它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.

(2)将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 5. 极坐标的几个注意点：

(1)极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点) 如：已知圆C

的参数方程为2cos 2sin x y θ

θ?=??=??

(θ

为参数)，若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线

的极坐标方程。5cos()26

ρθ-

= 如：已知抛物线2

4y x =，以焦点F 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即2

1cos ρθ

-。

()()2

22420()21

x pt

y px p t y pt y t x t ?==>?

=?=抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．

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