行列式计算

在之前的基础上对行列式的性质进一步拓展，如果一个行列式的一行加（减）另一行的 k k k倍，行列式的值不变。具体的证明过程如下，

整个过程与Gauss-Jordan消元法的过程是一致的。行列式的值与其经过Gauss-Jordan消元法后得到的行最简形式的行列式的结果是相等的。有一点不同的是，在行列式消元的时候不能进行归一化，因为归一化后，行列式的值就改变了。

Gauss-Jordan消元法的过程最理想的情况是将矩阵转换为一个对角矩阵，行列式的求取过程也是如此。

对角矩阵行列式计算

上、下三角矩阵行列式计算

如果Gauss-Jordan消元的结果存在零行，则行列式的值为0。

故总结行列式计算步骤，

对方阵进行Gauss消元(即没有Gauss-Jordan消元法后向过程)
不进行归一化处理
如果消元结果中存在零行，则行列式的值为0
如果不存在零行，则行列式的值为主对角线全部元素乘积

这也是大多数线性代数计算库计算行列式值的算法过程，这个过程本身的运算效率是较高的。

初等矩阵与行列式

d e t ( A ⋅ B ) = d e t ( A ) ⋅ d e t ( B ) det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B) det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)
这条性质在求取特征值的时候很关键。

对上面的式子取特殊情况，
d e t ( A ⋅ A − 1 ) = d e t ( A ) ⋅ d e t ( A − 1 ) d e t ( I ) = d e t ( A ) ⋅ d e t ( A − 1 ) d e t ( A ) ⋅ d e t ( A − 1 ) = 1 d e t ( A − 1 ) = 1 d e t ( A − 1 ) det(A\cdot A^{-1})=det(A)\cdot det(A^{-1})\\det(I)=det(A)\cdot det(A^{-1})\\ det(A)\cdot det(A^{-1})=1\\det(A^{-1})=\frac{1}{det(A^{-1})} det(A⋅A−1)=det(A)⋅det(A−1)det(I)=det(A)⋅det(A−1)det(A)⋅det(A−1)=1det(A−1)=det(A−1)1
因为矩阵 A A A的逆存在，故无需担心 d e t ( A ) = 0 det(A)=0 det(A)=0，具体见行列式性质拓展。

行式就是列式

在之前，行列式的理解都是以行为单位的。但是实际上，对于行列式而言“行式就是列式”，即 d e t ( A ) = d e t ( A T ) det(A) = det(A^T) det(A)=det(AT)

所以之前证明的基于行的行列式的性质对于列也都是适用的，

正是因为这个定理，使得行列式从行角度和列角度看都是相同的。这也为之后的特征值、奇异值打下了良好的基础。

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