3.1 n维向量及其运算

3.1.1 n维向量的概念

定义：n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，其中第个数称为向量的第个分量

分量全为零的向量称为零向量，记为0.

3.1.2 向量的线性运算

向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算

3.2 向量间的线性关系

3.2.1 向量的线性组合

1.线性组合

定义：设是一组m维向量。如果存在数使关系式

成立，则称是向量组的线性组合，或称可由向量组线性表示，称

为一组组合系数。

性质：

1）零向量可以由任意向量组线性表示

2）向量组中任一向量可由向量组表示

3）任一向量可由线性表示

2.向量组的等价

定义：设有两个向量组

两个向量组可以相互线性表示，表示两个向量组等价。

性质：

1）发射性：任一向量组与它自身等价

2）对称性：若,则

3）传递性：若，且，则

3.2.2 向量的线性相关与线性无关

1.线性相关与线性无关

定义：设为n个m维向量。如果存在一组不全为零的数使得

成立，则称向量组线性相关，而为一组相关系数；否则，称向量组线性无关

结论：1）向量组中两向量成比例，则这个向量组必线性相关

2）含零向量的任意向量组必相关

3）一个零向量必线性相关

4）一个非零向量必线性无关

5）一个向量线性相关的充要条件是

推论：部分组线性相关则整体组线性相关

整体组线性无关则部分组线性无关

一个线性无关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加一些分量所得到的高维向量组仍线性无关

一个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去一些分量所得到的低维向量组仍线性相关

2.线性组合和线性相关定理

定理：

1）线性相关的充要条件：至少一个向量可由其余向量表示

2）线性无关，线性相关，则向量可由向量组

线性表示，且表示唯一

3）替换定理：若线性无关，且可由线性表示，则；并且可适当排列向量的次序，使得向量组

与向量组等价。

推论：1）若m>n, 则m个n维向量必线性相关

2）n+1个n维向量必线性相关

3）两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量

3.3 向量组的秩

3.3.1 极大线性无关组

定义：如果向量组

（1）

的部分组满足

1）

2）向量组（1）中的每个向量都可以由线性表示

则称为向量组（1）的一个极大线性无关组，简称极大无关组

定理：向量组

（1）

的部分组是极大无关组的充要条件是

1）线性无关

2）向量组（1）中任意r+1个向量都线性相关

定理：一个向量组的任意两个极大无关组，都含有相同个数的向量

3.3.2 向量组的秩

定义：向量组的任一极大无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为

全是零向量的向量组的秩为零

注：1）对任何向量组，均有{向量的个数和维数的较小者}

2）向量组线性无关

3）向量组线性相关

3.3.3 矩阵的行秩与列秩

定义：行向量的秩称为行秩，列向量的秩为列秩

定理：矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩

定理：矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩，从而

3.3.4 极大无关组的求法

初等行变换不改变矩阵列向量组间的线性关系

求法：

1）不管原向量是行或列，均按列构成矩阵

2）只做初等行变换，化为行简化阶梯形

3）首非零元所在列做极大线性无关组

4）其余向量表示系数直接写出来

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