进行多目标优化时，通常面临多个目标函数无法同时达到最优的情况，为了解决这一矛盾，引入Pareto-Optimality的概念

Pareto-Optimality

通常，多目标优化的一般形式为：

经过处理，可以化为以下形式：

其中

f1(x),f2(x),...,fn(x)

为目标函数，其全部都是求最小值的形式

以下针对两个目标函数进行讨论：

有几个目标函数便为几维空间，有两个目标函数Time(f1(x)),Cost(f2(x)),

可以画出图像：

随后引入几个概念：

非支配解：假设任何二解S1 及S2 对所有目标而言，S1均优于S2，则我们称S1 支配S2，若S1 的解没有被其他解所支配，则S1 称为非支配解(不受支配解)，也称Pareto解

支配解：若解S2的所有目标均劣于S1，则称S1优于S2，也称S1支配S2

，S2为受支配解。

因此现在的首要任务是寻找解空间里面所有的Pareto解，找到所有Pareto解之后，这些解组成的平面叫做Pareto前沿面(Non-dominated front)。在目标函数较多时，前沿面通常为超曲面。

非支配解排序(Non-dominated Sorting)

1. 设所有解的集合为S，现从中找出非支配解集合，记为F1

2. 令S=S-F1，从S中再找出非支配解集合，记为F2

3. 重复第二步，直到S为空集

将每次找出的非支配解进行排序如下：

{F1,F2,…,Fn}

在途中画出Fi集合中对应点，并连线，则构成了n个pareto曲面，分别编号为Non-dominated Front 1，Non-dominated Front 2…

以上述表格中数据为例：F1={A,B,D,F}, F2={C,E,D}, F3={H,I}

画出相应图形：

在第一个前沿面上的解具有最大的适应度，序数越大则适应度越小。序号小的前沿面上的解可以支配序号大的前沿面上的解。

同一前沿面上解的排序-拥挤度(Crowding Distances)

针对第一个前沿面来说，其中包含了A,B,D,F四个解，如何评判这四个解的适应度大小呢？由此引入了拥挤度的概念。

拥挤度的计算：

1. 只考虑同一前沿面上的解，设定位于前沿面两端边界点的拥挤度为∞。

2. 对于不在两端的点，其拥挤度主要与其相邻两个点有关

拥挤度越小则对应该解越重要

比较通俗的理解：拥挤度越小就说明该解与其他解相似程度不高，保留拥挤度较小的点相当于保存了解的多样性

所以说，确定解的适应度大小顺序应该先判断该解在哪个前沿面上，如果在同一个前沿面上，则再计算拥挤度进行判断

与遗传算法结合

与普通遗传算法步骤大概相同，初始化随机取几个解，进行编码，交叉互换，突变

生成子代

但是，在生成子代后，需要与父代混合，从中挑选出适应度较高的解重新形成子代，再进行新的一轮迭代。

举例说明：

1.针对一个两目标优化问题，初始化随机取出10个解记为F，经过计算得到子一代为P

此时将P,F混合，形成新的解集S

2.针对S，进行上面所介绍的非支配解排序，计算拥挤度，最终得出这12个解的适应度大小顺序，从中取适应度较大的10个点生成新的子代(维持和父代个数相同)，带入算法进行新一轮迭代

子代父代混合筛选生成新的子代，好像叫做精英策略

任何启发式算法均有两个方面组成：加快收敛的操作和在收敛过程中保持解的多样性的操作，两种操作相互作用，以至于找到一个合适的收敛速度，减少计算时间，同时避免陷入局部最优

对于NSGA来说，其规则仍然符合这两个准则：

1. 本算法并不是只取最优的前沿面，而是将所有前沿面均纳入考虑范围内，是为了体现解的多样性，防止陷入局部最优

2. 计算拥挤度是为了保存下来相似程度较低的解，保持解空间的多样性

3. 使用精英策略是为了加速收敛，更快的除去劣解

作者：骑着象拔蚌环游

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