高三学生，逛知乎看到这个问题。正好我在高一学余弦定理的时候也有这样它不严谨的感觉，并且认真思考过。我浏览了一下高赞答案，发现没有和我以前思考的思路一样的，那我就献丑说一下我的思路吧。

首先既然要证明余弦定理，就要了解余弦定理到底是个什么东西。我们先来看一下三角形。

我们在初中已经了解关于三角形全等的知识，我将它在这里理解为，给定一个全等的条件，就得到了一个唯一确定的三角形。至于它是怎么来的，初中应该都把它当成公理来看了，我们这里也把它当成公理。

首先给定(能构成三角形的)三边长，就满足了SSS条件，得到了一个唯一确定的三角形。既然这个三角形被唯一确定了，那么它的角也被确定了。这样，我们通过给定的三边长，能确定出确定的三角形的所有内角。换句话说，一个三角形的三边长和它的某个内角间存在这样一个映射，使得对一切满足构成三角形条件的三边长，都能找到唯一的一个角度与它对应。我们很自然地会想这个映射关系能不能用一个关系式来表达。

这个关系式，不是别的，正是余弦定理，即是

(和我们学过的形式不太一样，但我们应该能很易看出它们是等价的)。这里我们再思考一下，也应该能大致明白为什么它是“余弦定理”而不是什么“正弦定理”这样的。这是因为

与

不同，后者只在

上被定义，而前者的定义域可以覆盖一切三角形内角的角度。不过如果我们非要用正弦反正弦来表示也不是不行，分一下类就可以。反正表达式不是关键，重要的是这个三角形三边与内角之间的这个关系。

到这里我们已经明白，这个三角形的三边和内角的关系是客观存在的，余弦定理只是找出了这个(可能存在的)表达式。而这个证明余弦定理的过程，我们可以把它看成一个找出这个表达式的过程。

现在我们来看用这个向量的点乘(内积，数量积都行，无所谓)来证明的过程。我学的是人教版课本，我就以人教版上写的为例了，别的我不太清楚。首先课本定义了向量是个什么东西，然后定义了其点乘是个什么东西，然后我们很易从这个定义推导出以下性质：

第一个性质是显然的，第二个性质是分配律，课本上留作习题了，不过幸运的是， @usercjh123 的回答中提到了证明过程，只是漏了一点，那个证明过程只证明了向量投影的分配律，要证明点乘的分配律，把最后得到的式子两边同时取模(两边都是向量)就好了。

我们得到了这些性质以后，就可以按照课本上的证明过程进行了。我把它理解为这个向量点乘只是相当于我们平常证明问题中的一种构造而已。比如我们做导数题中经常构造一些辅助函数什么的，然后证明了它的一些性质，最后证明了这个结论。然而和一般构造可能有区别的是，这个向量点乘，确正好有及其深厚的意义。

到这里这问题就基本结束了，然而我们可能注意到，它还不是很严谨。因为我们之前把三角形的全等当成公理看了，它到底是不是呢，我们还不知道。另外要严格来说，长度，角度这些东西我们中学阶段也没有对它们进行严格的定义。

这个严格定义就扯的比较远了，我们这里看一下之前的数学教材是怎么定义的，对于线段长度的定义，我从小学一路走来大致的印象是先是直接用，然后初中学了解析几何后，把线段放在坐标系里，用两点间距离公式，并告诉我们这个距离就是这个线段的长。然而关于角度就更加模糊不清了，我记得开始小学介绍了平角钝角锐角，然后初中就开始平面几何直接用角度，到了高中，用了始边终边的概念把角度从

拓展到一切实数。然而角到底是个什么东西，线段又是个什么东西，这些就像我们从小学的算数

一样，拿来直接用，而没有去定义数到底是个什么东西。这些看起来没有必要，然而事实上并不是这样的。我之前感兴趣稍微了解了一下抽象代数，才明白这严格定义事实上很重要。

我高一的思考就到上面为止了，然而看到这个问题下的一些回答，我又深受启发。关于这个问题的本质，我觉得 @Hans Spielgarten 的回答解释了这个问题。虽然我没学过相关的内容，看不懂里面的一些名词，但是我能理解里面的一些意思。我们初中学的解析几何把平面的点放到直角坐标系里用实数对

来表示并在里面表示线段直线什么的应该就是他在回答中提到的欧式平面几何的点可以用 (x,y) 实数对表示,这一步可行的原因是一维欧式几何的公理体系满足实数的集合论的定义,二维的情况就利用一下笛卡尔积的特性.

欧式平面中的线段可用 (x,y),(a,b) 点对表示

欧式平面中的线可用 t(x,y)+(1-t)(a,b) 其中t 取便所有实数

所以最后我的结论是关于这个问题，因为在中学一些基础概念未被严格地定义，无法做到讨论这个证明是否有逻辑错误。

高三狗学术不精，有问题欢迎大家指正。