趣学算法系列-分支限界法

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第六章分支限界法

在树搜索法中，从上到下为纵，从左向右为横，纵向搜索是深度优先，而横向搜索是广
度优先。前面讲的回溯法就是一种深度优先的算法。分支限界法就是以广（宽）度优先的树搜索方法
- 分支限界法的算法思想
*从根开始，常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
首先将根结点加入活结点表（用于存放活结点的数据结构）
*接着从活结点表中取出根结点，使其成为当前扩展结点，一次性生成其所有孩子结点，判断孩子结点是舍弃还是保留，舍弃那些导致不可行解或导致非最优解的孩子结点，其余的被保留在活结点表中。
*再从活结点表中取出一个活结点作为当前扩展结点，重复上述扩展过程，直到找到所需的解或活结点表为
空时为止。由此可见，每一个活结点最多只有一次机会成为扩展结点。
*活结点表的实现通常有两种形式：一是普通的队列，即先进先出队列；一种是优先级队
列，按照某种优先级决定哪个结点为当前扩展结点
- 分支限界法算法步骤
（1）定义解空间确定解空间包括解的组织形式和显约束(范围限定)
（2）确定解空间的组织结构通常用解空间树形象的表达(只是辅助理解并不是真的树)
（3）搜索解空间按照广度优先搜索，根据限制条件，搜索问题的解
- 分支限界法解题秘籍
（1）定义解空间确定解空间包括解的组织形式和显约束(范围限定)
（2）确定解空间的组织结构通常用解空间树形象的表达(只是辅助理解并不是真的树)
（3）搜索解空间按照深度优先搜索，根据限制条件，搜索问题的解
- 回溯法的典型应用
树的广度优先遍历
旅行商问题

实际案例分析-旅行商问题

问题描述

终于有一个盼望已久的假期！立马拿出地图，标出最想去的 n 个
景点，以及两个景点之间的距离 dij，为了节省时间，我们希望在最短
的时间内看遍所有的景点，而且同一个景点只经过一次。怎么计划行
程，才能在最短的时间内不重复地旅游完所有景点回到家呢？
问题分析

现在我们从 1 号景点出发，游览其他 3 个景点，先给景点编号 1～4，每个景点用一个结点表示，可以直接到达的景点有连线，连线上的数字代表两个景点之间的路程（时间）。那么要去的景点地图就转化成了一个无向带权图，如图 6-34 所示。

在无向带权图 G=（ V， E）中，结点代表景点，连线上的数字代表景点之间的路径长度
算法设计

（1）定义问题的解空间
奇妙之旅问题解的形式为 n 元组： {x1， x2，…， xi，…， xn}，分量 xi 表示第 i 个要去的旅
游景点编号，景点的集合为 S={1， 2，…， n}。景点不可重复走，xi 的取值为 S−{x1， x2，…， xi−1}， i=1， 2，…， n。
（2）解空间的组织结构
问题解空间是一棵排列树，树的深度为n=4，如图 6-35 所示。

（3）搜索解空间
约束条件
用二维数组 g[][]存储无向带权图的邻接矩阵，如果 g[i][j]≠∞表示城市 i 和城市 j 有边相连，能走通
限界条件
clbestl， cl 的初始值为 0， bestl 始值为+∞。
cl：当前已走过的城市所用的路径长度。
bestl：表示当前找到的最短路径的路径长度。
搜索过程
如果采用普通队列（先进先出）式的分支限界法，那么除了最后一层外，所有的结点都
会生成，这显然不是我们想要的
可以使用优先队列式分支限界法，加速算法的搜索速度
设置优先级：当前已走过的城市所用的路径长度 cl。 cl 越小，优先级越高
完美图解

（1）数据结构
设置地图的带权邻接矩阵为 g[][]，即如果从顶点 i 到顶点 j 有边，就让 g[i][j]等于i， j>
的权值，否则 g[i][j]=∞（无穷大），如图 6-37 所示。

（2）初始化
当前已走过的路径长度 cl=0，当前最优值 bestl=∞。初始化解向量 x[i]和最优解 bestx[i]，
如图 6-38 和图 6-39 所示。

（3）创建 A 节点
A0 作为初始结点，因为我们是从 1 号结点出发，因此 x[1]=1，生成 A 结点。创建 A 结点 Node（ cl， id），cl=0， id=2； cl 表示当前已走过的城市所用的路径长度，id 表示层号；解向量 x[]=（ 1， 2， 3， 4）， A 加入优先队列 q 中，如图 6-40 所示。

（此处的优先队列不是普通的队列，是队列和堆结构实现的）优先队列中按自定义的优先规则排序
具体查看[优先队列和堆]http://blog.csdn.net/ahafg/article/details/60581286
（4）扩展 A 结点
队头元素 A 出队，一次性生成 A 结点的所有孩子，用 t 记录 A 结点的 id， t=2。
搜索 A 结点的所有分支， for(j=t; j=n; j++)。对每一个 j，判断 x[t−1]结点和 x[j]结点是否有
边相连，且 cl+g[x[t−1]][[x[j]]bestl，即判定是否满足约束条件和限界条件。如果满足则生成新
结点 Node（cl， id），新结点的 cl=cl+g[x[t−1]][[x[j]]，新结点的 id=t+1，复制父结点 A 的解向量，
并执行交换操作 swap（x[t]， x[j]），刚生成的新结点加入优先队列；如果不满足，则舍弃。
• j=2：因为 x[1]结点和 x[2]结点有边相连，且 cl+g[1][2]=0+15=15bestl=∞，满足约束
条件和限界条件，生成 B 结点 Node（ 15， 3）。复制父结点 A 的解向量 x[]=（ 1， 2，
3， 4），并执行交换操作 swap（ x[t]， x[j]），即 x[2]和 x[2]交换，解向量 x[]=（ 1， 2，
3， 4）。 B 加入优先队列。
• j=3：因为 x[1]结点和 x[3]结点有边相连，且 cl+g[1][3]=0+30=30bestl=∞，满足约束
条件和限界条件，生成 C 结点 Node（ 30， 3）。复制父结点 A 的解向量 x[]=（ 1， 2，
3， 4），并执行交换操作 swap（ x[t]， x[j]），即 x[2]和 x[3]交换，解向量 x[]=（ 1， 3，
2， 4）。 C 加入优先队列。
• j=4：因为 x[1]结点和 x[4]结点有边相连，且 cl+g[1][4]=0+5=5bestl=∞，满足约束条
件和限界条件，生成 D 结点 Node（ 8， 3）。复制父结点 A 的解向量 x[]=（ 1， 2， 3，
4），并执行交换操作 swap（ x[t]， x[j]），即 x[2]和 x[4]交换，解向量 x[]=（ 1， 4， 3，
2）。 D 加入优先队列

后续过程略

伪代码详解

（1）定义结点结构体

struct Node //定义结点，记录当前结点的解信息
{
double cl; //当前已走过的路径长度
int id; //景点序号
int x[N]; //记录当前路径
Node() {}
Node(double _cl,int _id)
{
cl = _cl;
id = _id;
}
};

（2）优先队列式分支限界法搜索函数

//Travelingbfs 为优先队列式分支限界法搜索
double Travelingbfs()
{
int t; //当前处理的景点序号 t
Node livenode,newnode; //定义当前扩展结点 livenode,生成新结点 newnode
priority_queue<Node> q; //创建优先队列，优先级为已经走过的路径长度cl， cl 值越小，越优先
newnode=Node(0,2); //创建根节点
for(int i=1;i<=n;i++)
{
newnode.x[i]=i; //初时化根结点的解向量
}
q.push(newnode); //根结点加入优先队列
while(!q.empty())
{
livenode=q.top(); //取出队头元素作为当前扩展结点 livenode
q.pop(); //队头元素出队
t=livenode.id; //当前处理的景点序号
// 搜到倒数第 2 个结点时个景点的时候不需要往下搜索
if(t==n) //立即判断是否更新最优解，
//例如当前找到一个路径（1243），到达 4 号结点时，立即判断 g[4][3]和 g[3][1]是
否有边相连，如果有边则判断当前路径长度 cl+g[4][3]+g[3][1]<bestl，满足则更新最优值和最优解
{
//说明找到了一条更好的路径，记录相关信息
if(g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]!=INF&&g[livenode.x[n]][1]!=INF)
if(livenode.cl+g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]+g[livenode
.x[n]][1]<bestl)
{
bestl=livenode.cl+g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]+g[l
ivenode.x[n]][1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
bestx[i]=livenode.x[i];//记录最优解
}
}
continue;
}
//判断当前结点是否满足限界条件，如果不满足不再扩展
if(livenode.cl>=bestl)
continue;
//扩展
//没有到达叶子结点
for(int j=t; j<=n; j++)//搜索扩展结点的所有分支
{
if(g[livenode.x[t-1]][livenode.x[j]]!=INF)//如果 x[t-1]景点与 x[j]
景点有边相连
{
double cl=livenode.cl+g[livenode.x[t-1]][livenode.x[j]];
if(cl<bestl)//有可能得到更短的路线
{
newnode=Node(cl,t+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
newnode.x[i]=livenode.x[i];//复制以前的解向量
}
swap(newnode.x[t], newnode.x[j]);//交换 x[t]、 x[j]两个
元素的值
q.push(newnode);//新结点入队
}
}
}
}
return bestl; //返回最优值
}

实战演练

//program 6-2#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <queue>using namespace std;
const int INF=1e7; //设置无穷大的值为 10^7
const int N=100;
double g[N][N]; //景点地图邻接矩阵
int bestx[N]; //记录当前最优路径
double bestl; //当前最优路径长度
int n,m; //景点个数 n,边数 m
struct Node //定义结点，记录当前结点的解信息
{
double cl; //当前已走过的路径长度
int id; //景点序号
int x[N]; //记录当前路径
Node() {}
Node(double _cl,int _id)
{
cl = _cl;
id = _id;
}
};
//定义队列的优先级。以 cl 为优先级， cl 值越小，越优先
bool operator <(const Node &a, const Node &b)
{
return a.cl>b.cl;
}
//Travelingbfs 为优先队列式分支限界法搜索
double Travelingbfs()
{
int t; //当前处理的景点序号 t
Node livenode,newnode; //定义当前扩展结点 livenode,生成新结点 newnode
priority_queue<Node> q; //创建一个优先队列，优先级为已经走过的路径长度 cl， cl 值
越小，越优先
newnode=Node(0,2); //创建根节点
for(int i=1;i<=n;i++)
{
newnode.x[i]=i; //初时化根结点的解向量
}
q.push(newnode); //根结点加入优先队列
while(!q.empty())
{
livenode=q.top(); //取出队头元素作为当前扩展结点 livenode
q.pop(); //队头元素出队
t=livenode.id; //当前处理的景点序号
// 搜到倒数第 2 个结点时个景点的时候不需要往下搜索
if(t==n) //立即判断是否更新最优解
//例如当前找到一个路径（1243），到达 4 号结点时，立即判断 g[4][3]和 g[3][1]是
否有边相连，如果有边则判断当前路径长度 cl+g[4][3]+g[3][1]<bestl，满足则更新最优值和最优解
{
//说明找到了一条更好的路径，记录相关信息
if(g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]!=INF&&g[livenode.x[n]][1]!=INF)
if(livenode.cl+g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]+g[livenod
e.x[n]][1]<bestl)
{
bestl=livenode.cl+g[livenode.x[n-1]][livenode.x[n]]+g[l
ivenode.x[n]][1];
cout<<endl;
//记录当前最优的解向量
for(int i=1;i<=n;i++)
{
bestx[i]=livenode.x[i];
}
}
continue;
}
//判断当前结点是否满足限界条件，如果不满足不再扩展
if(livenode.cl>=bestl)
continue;
//扩展
//没有到达叶子结点
for(int j=t; j<=n; j++)//搜索扩展结点的所有分支
{
if(g[livenode.x[t-1]][livenode.x[j]]!=INF)//如果 x[t-1]景点与 x[j]
景点有边相连
{
double cl=livenode.cl+g[livenode.x[t-1]][livenode.x[j]];
if(cl<bestl)//有可能得到更短的路线
{
newnode=Node(cl,t+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
newnode.x[i]=livenode.x[i];//复制以前的解向量
}
swap(newnode.x[t], newnode.x[j]);//交换 x[t]、 x[j]两个
元素的值
q.push(newnode);//新结点入队
}
}
}
}
return bestl;//返回最优值
}
void init()//初始化
{
bestl=INF;
for(int i=0; i<=n; i++)
{
bestx[i]=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
g[i][j]=g[j][i]=INF;//表示路径不可达
}
void print()//打印路径
{
cout<<endl;
cout<<"最短路径： ";
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<bestx[i]<<"--->";
cout<<"1"<<endl;
cout<<"最短路径长度： "<<bestl;
}
int main()
{
int u, v, w;//u,v 代表城市， w 代表 u 和 v 城市之间路的长度
cout << "请输入景点数 n（结点数）： ";
cin >> n;
init();
cout << "请输入景点之间的连线数（边数）： ";
cin >> m;
cout << "请依次输入两个景点 u 和 v 之间的距离 w，格式：景点 u 景点 v 距离 w： "<<endl;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>u>>v>>w;
g[u][v]=g[v][u]=w;
}
Travelingbfs();
print();
return 0;
}

算法时间复杂度分析

（1）时间复杂度：最坏情况下，如图 6-46 所示。时间复杂度为 O(n!)。

（2）空间复杂度：程序中我们设置了每个结点都要记录当前的解向量 x[]数组，占用空间为 O(n)，结点的
个数最坏为 O(n!)，所以该算法的空间复杂度为 O(n*n!)。

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