python面值组合_【题目1】硬币面值组合

问题描述

评测题目: 给定 m 种面值的硬币，每种面值的硬币有无限多个，它们的面值分别为C=[c[0], c[1], …, c[m-1]]，现用这些面值的硬币凑齐 n 元，求有多少种方法。如 n=3, m=4, c =[8, 3, 1, 2]，则有 3 种方法，分别为 {1, 1, 1}、{1, 2}、{3} 。

问题分析

给定一个金额n，假设有m种面值的硬币C=[c[0], c[1], …, c[m-1]]，现用这些面值的硬币凑齐 n 元，有

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数X=[x[0], x[1], …, x[m-1]]的所有可能个数。

【思路1】采用暴力枚举的方法，各个系数可能的取值分别为x[0] = {0, 1, ..., n/c[0]}, ……, x[m-1] = {0, 1, ..., n/c[m-1]}。这适用于硬币种类数较小的问题，但是复杂度很高O(n/c[0]×…×n/c[m-1]))

【思路2】定义num[i,j]为用前i种硬币(所有硬币)凑齐j元的所有组合数，那么题目的问题实际上就是求num[m,n]。设k为使用面值为c[m-1]的硬币凑齐n元所允许的最大个数，那么所有可能的组合数可以表示为c[m-1]的个数j从0个一直变到k个的时候满足n-j*c[m-1]的所有组合数之和。也就是说，我们通过固定最后一种面值的硬币数量，来求取剩余面值硬币凑齐余额的组合数。因此，对num[m,n]，有

由此式可以看出此表达式可用递归的方法，逐步缩减

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