随机过程唐斌圣经（更新完毕，建议全文背诵）
阿bin哥讲解考试圣经
- 关于平时成绩
- 关于开卷方式
- 关于作业
- 关于计算器
- 关于考试大纲
- 第一章 概率论
- 第二章 随机过程的基础（随机过程的分类）
- 第三章 二阶矩过程
- 第四章 平稳过程
- 第五章 高阶统计（唐斌告诫不要花时间）
- 第六章 泊松过程
- 第七章 马尔可夫过程
关于平时成绩
平时成绩占20%，我们这个事情怎么来考核同学们？都看同学们的提交的我们的作业：根据所谓的质量，我们来打分，（标准）应该是很清楚了。根据平时提交的作业我们要反馈，然后我们作业按20%打，没提交的全部是给零分。然后期末考试的卷面成绩是100分，期末考试卷面的成绩是100分，然后根据你的考试的总成绩，然后我们再乘上0.8，最后进入到你的综合成绩里面。
平时成绩我们也是感觉在然后乘上0.2，然后计算到你们的综合成绩里面。
关于开卷方式
然后考试方式：一页纸开卷，第二个看见同学们不要自行的准备一页纸，应该在下下周我们会通知我们研究生科，我们可以拿一页纸。我们学校的监考人员非常认真，他发现如果考生不是拿着一页纸的话，他可能要把你们考卷作废。
要注意了，千万要注意。我觉得我们以前有同学被请出过教室哦！目前我们的监考的一些人都是退休人员，为了挣这几十块钱的费用，对监管会他们也看得很非常认真。然后希望你们用这一页纸，你能写好多，就写好多，反正你发挥你们最大的潜力。
关于作业
你们昨天什么时候交？我们这个班上其他班我们是不管。
我们这个班上，你们在考试前，也就是是在发卷子之前提交作业，请记住在考试的时候，监考老师发卷子之前，提交作业。
请记住哈，作业不接受单张模式。什么意思？有些人是用那种贴纸模式。最好用一个本子。
我怕掉了纸过后，你过来扯筋筋。
关于计算器
然后考场之中允许带计算器、不准计算器相互传递，应该说合情合理合规合法。
关于考试大纲
然后我们的考题范围不超过我们的我们大纲，因为是大纲，我也是考虑你们的！
不超过我们的 PPT的范围，也不会超过我们所用的参考教材，应用随机过程。
我们总共有三个班，我们这个班和他们那个班（考题）可能有一两个题有差异很正常。我们这个班比如说选做，有些题可能三个班都必做，但是有些题是我们班选做他们那个班不做。有一些是他们的两个班必做，我们可能不做。
注意到是把题目上的标准你如果要看清楚，你可能认为自己某些方面学的好，于是你把把他们班的题做了，但是我们这个班的必做题没做，到时候你要找我要分，我们肯定是没法给你。但这个东西，然后考试的范围，大家都已经说了，这节课再给你们说一点。
第一章 概率论
请记清楚，这一章我们不会有大的计算题，只会有一些小的理论考试，考试分数不会超过五分。
同学们想一想，这也意味着最多有一个填空题，因为这一章主要是你们的本科内容：比如说是数理统计相关的很清楚的东西。这里面有稍稍有一个可以讲就是：把一维随机变量换成了二维的随机变量和多维的随机变量，只是有在这儿有稍稍有一点拓展的。那么第一章我就不说了哈。
也就是说如果已知两个随机变量，两个随机变量它们的联合分布，那么这个随机变这两个随机变量经过线性变换过后，又得到另外两个的随机变量。那么这个时候它的分布特性，我们有一个公式是不是？叫做概率密度函数它的变换公式。那么从一个二维随机变量变到另外一个二维的随机变量，它的他的关系同学们在本科里面都已经搞得很清楚了，对不对？那么我们这三分或者是或者是这几分，应该是全部拿到手。
另外正态随机变量通过线性变换过后仍然是正态，也就是说这个时候它的高阶累积量三阶或三阶以上是恒为0对不对？那么他的高阶矩没有这个特性。要对一个接收器的输出信号做信号检测，或者说做信号存在性的判断，在什么情况下，也就是说用什么方法可以不考虑接收机的初始噪声？这个同学们知道吧（全体疑惑脸）？
一个接收器的输出信号等于期望信号，再加上我们噪声信号对不对？那么噪声信号我们通常都讲这是高斯分布。那么在这种情况下，我要对信号的存在性的一个判断，刚才说对信号作为一个信号的检测，什么情况下可以采用什么措施；什么情况下，可以不考虑我们的接收器的噪声。只有采用高阶的统计量！是不是！？我还要反过来问你，因为同学们从小学就是应试教育过来的，小学初中高中都是一直应试教育过来的，同学的转换能力还是很差的。
那么我可能反过来问你，就是说问这些问题，一个随机变量的特征函数可以看成是一个概率函数的傅里叶变换。那么在有些人说这也是他的物理意义，问你这种表示对不对？显然不对，对不对？因为这个特征函数到目前为止没有任何的物理意义（循环论证）。
另外还有一点，就是随机变量的母函数，只针对非整数取值的随机变量来定义。那么有时候我们可能想办法可能就是说任何一个随机变量都存在不满足，那么这些话你要去理解的。
同学们，因为我们研究生考试后你们本科考试有差异，研究生考试是主要是靠你们的理解能力和分析能力，而且考虑一些很基础，不是说让你们去过多的去计算，过多的一些分析，我们不干那个事，这个概念必须要清晰，我们曾经考过就是告诉大家，对于下面2相移键控信号，相移键控信号，如果说取0和1或者说-1和正一两个概念不相等的情况下，然后这个信号在传输过程中，受到哪些影响？这个题肯定是有难度的。
同学们你要先想清楚零和一的概念，或者说－1和+1的概念，因为你们学过的就是－1和+1都是一个啥子，属于等概率模式对不对？那么如果他两者是不相等，造成什么影响？这就是简单的第一章。
第二章 随机过程的基础（随机过程的分类）
第二章随机构成的基础，或者说随机过程它的分类，首先随机过程的概念必须要摸清楚，随机过程是怎么先要建立，它是一个集合。我可以这样说，它是随机变量，随着另外一个参量在发生变化这样一类。
注意了这个参量我们这儿本书只讲了一个一个参量对不对？如果说我这个里面有两个参量，又会产生什么情况？相对来说我们书上的定义参数集G，他现在是假设，很多时候我们都讲一下，它是一个时间概念，对不对？如果说我这个G是包含一个多元，这个时候像这样一类随机过程又会出现什么情况？都是我们要去理解随机过程的概念的时候，一定要把你们的脑阔把你们的头脑要想清楚，希望你们脑洞大开。
那么在这个里面，对于随机过程，我们通常是从三个层面来描述它的概率特性，通常有三个层面来描述它，一个是它的概率分布函数，一个是他干的每个行业中，另外一个是特色行业中。实际上这三者是等效果。税法一上去最后一项工作。那么这个里面有一个非常著名的定理，叫做概率分布存在性定理，概率分布存在性定理。那么存在一定的这儿描述，它实际上很简单，那么我们反过来，你要把这个东西怎么样去用好。那么接下来我们讲到随机过程的数字特征，数字特征一个是他的重心，再一个他的君子，另外一个是相关函数，相关的问题，以及协防化函数等等。而方差函数实际上是斜方差函数特殊情况，然后它的相关系数，大家知道相关系数好像是那么这些定义的你们在本科期间就已经有了，这儿要隆重的提一下信号的平均功率。
那么在这个里面，对于随机过程，我们通常是从三个层面来描述它的概率特性，通常有三个层面来描述它，
- 一个是它的概率分布函数
- 一个是他的概率密度函数
- 另外一个是特征函数
实际上这三者是等效的。那么这个里面有一个非常著名的定理，叫做概率分布存在性定理。
这儿描述它实际上很简单，那么我们反过来，你要把这个东西怎么样去用好。那么接下来我们讲到随机过程的数字特征，数字特征一个是他的重心，再一个他的均值，另外一个是相关函数，以及协方差函数等等。而方差函数实际上是协方差函数特殊情况。然后它的相关系数，那么这些定义的你们在本科期间就已经有了。
这儿要隆重的提一下信号的平均功率。大家说随机过程的均方函数也是信号的平均功率，如果把这个随机过程看成是一个信号的话，它的信号的平均功率（我求你把话说完）。然后联合特征函数，或者说联合的相关特性，首先它的前提条件是这两个随机过程，必须定义在同一概率空间，同一个参数集上才有联合二字，我们才可以讨论，抛开这个东西，一切免谈。
然后对于复和调制我们称为组合调制，对单变量的同学们必定你们要会的，有单个随机变量，比如说 X ( t ) = A c o s ( w 0 t + θ ) X(t)=Acos(w_0t+\theta) X(t)=Acos(w0t+θ)，那么假设 A A A是常数， w 0 w_0 w0是常数， θ \theta θ它是一个变量，这个随机变量这个0看到了过后马上就应该想到它的均值是多少，它的相关函数说。那么我们考你肯定不会考，因为单个是你们的基础。我们肯定是考你两个，那么两个里面这三个参量，任何两个都可以合起来处理。那么这个时候要能够把它的均值算的出来，把它相关函数要列出来。那么这个里面有几个重要的例子，第一个例子就是随机正弦信号，刚才已经说了，第二个就是随机电报信号，随机电报信号是非常重要的一类信号。实际上它真正的表达式 x = ( − 1 ) N ( t ) x=(-1)^{ N(t)} x=(−1)N(t)。 N(t)是一个参数为 λ \lambda λ的泊松过程，那么这个时候对于这样一个信号， A A A是 ± 1 ±1 ±1。如果我把这个换过来， A是 0 ， π / 2 ， 3 π / 2 ， 和 2 π 0，\pi/2，3\pi/2，和2\pi 0，π/2，3π/2，和2π。关键时候 π / 4 , 3 π / 4 ， 5 π / 4 ， 7 π / 4 \pi/4, 3\pi/4，5\pi/4，7\pi/4 π/4,3π/4，5π/4，7π/4。那么这个时候你也可以算一下，我把A给你换一下。你现在 A是一个啥呢？2进制模式对不对？是。 BPSK的模式，我给你换成QPSK的模式，那怎么办呢同学们？那么这个时候同学们都直接按照他定义一步一步的来要解释。按照这个过程你们要有一个固定的模型分析，我这儿分析的没有那么清楚，你们书上分析的是更清楚。因为AA是一个随机变量，所以今天我可以让他在 π / 4 , 3 π / 4 ， 5 π / 4 ， 7 π / 4 \pi/4, 3\pi/4，5\pi/4，7\pi/4 π/4,3π/4，5π/4，7π/4这4个变量，他们之间做等概率的测试，这个是可以的，对不对？这种情况下怎么办？我想你再找任何参考书，有的找得到。这个都只能考虑你自己。
然后这个时候它的均值又是多少？他的自相关函数应该是一个又应该是一个什么样子？那么总之这个题其实很多大学，包括你在座的同学，难免没有研究生毕业过后不去考其他大学的博士生。清华大学每年的入学考试题里面都有类似的题，你可以去翻一下清华大学的每年的随机过程的入学考试你看一下，那么刚才我说就是清华大学去年的一个入学考试。我听我同学说，他说这个题很多东西都没拿到分，那么接下来根据随机过程的分类，平稳过程中我这就不说了，平稳过程不在本科里面已经讲的很扎实，对不对？平稳过程分严平稳，我们也把他称为狭义平稳。它的定义是已经这么清楚了。
然后广义平稳，广义平稳我们这儿我们本书只关注二阶广义平稳。广义平稳我们称为弱平稳也称为宽平稳。因此我们除了特殊要求的情况下，我们这个书只关注二阶平稳，因此在你判断平稳是平稳性的时候，这三个条件你都得判断。首先它的均值是一个常数，它的自相关函数只与它的相对时差有关，比他绝对是可以是无关的。另外它的二阶矩是不是它的二阶矩是个有限值，那么这个时候宽容和严平稳在哪些情况下两者是等价的？我们这个书上有几种情况，我们这个书上首先给出来是正态过程，宽平稳和严平稳它是等价的，那么这个结论是在你们本科里面已经有了。
那么我们这个书上还有一个马尔可夫链，宽平稳也是严平稳。齐次的马尔可夫链是宽平稳也是严平稳。还有哪一个（是呢）？同学们想一下，是一个是正交增量过程是独立的增量过程？你自己想（你麻痹为什么不讲清楚？傻逼），你们下来看看肯定在看。然后对于非周期的随机过程，它的自相关函数满足什么特性？也就是我们这个表达式是不是？是第5类的表达，要通过它，我们可以求出这个随机过程它的均值。注意到均值求出来是 ∣ m （ x ） ∣ 2 = ∞ | m （x）|^2=\infty ∣m（x）∣2=∞，，那么这个时候它的均值求出来， m a x m （ x ） max\ m（x） max m（x）如果说你只填了一个指数，千万小心。
然后接下来我们介绍了第二个学习过程，叫做独立增长过程，独立增长过程它的定义，现在第二类课程叫做是独立随机过程，独立随机过程它的定义上是我们是从对这个随机过程进行n点采样，采样过后 n为的随机变量，他们之间是相互独立的，对不对？
然后接下来我们介绍了第二个学习过程，叫做独立增长过程，独立增长过程它的定义，现在第二类课程叫做是独立随机过程，独立随机过程它的定义上是我们是从对这个随机过程进行n点采样，采样过后 n为的随机变量，他们之间是相互独立的，对不对？
这样一个过程才是一个独立的那么一旦独立了，那么这个时候它的概率特性现在显示为他们多个的乘积。那么这个时候它的数字特征你们要注意到。。。比如说这个时候我们看到对于独立过程，不同时刻是不相关的，那么这儿这个意思是说独立过程每个时刻具有相同的分布，因此过程是严平稳。如果是我们行需要证明，应该说也不难这个东西，直接按严平稳的定义，然后把这个结论给我带进去就可以了。
然后这儿我们给同学们再补充了一点叫做噪声，还有白噪声。那么我们这儿介绍的白噪声和你们过去认知里面的围绕着白噪声的概念有一点冲突—你们过去学的的白噪声是平稳的白噪声。我们这儿介绍对可以造成并不一定是平稳的。然后接下来我们的高斯过程肯定是个重点。
首先高斯过程是怎么来定义的？那么对于一维高斯随机变量和二维的高斯随机变量，它的特征函数，当然你们现在有一页纸可以抄到你们上面，最好把你们存储到到你们的memory里面。那么它的分布特性，还有特征函数，那么高斯随机变量的性质：我们介绍了5个，那么这些性质的我们是我们给了全部的证明的，你们那工厂好像是没给全（又开始了？），是不是？我们是给了全部的证明过程，要注意到每个性质它有一定的物理含义，那么这个里面有一个重要的例子，也是我们这个例子，这个例子也就是说正态随机变量经过线性变换过后，它仍然是正态的，那么这个时候它的均值是等于多少，协方差又是等于多少？
刚才说的正态过程我们怎么去定义它？我们只是对这个随机过程做了n点的任意n个时候的采样，采样了 n个随机变量，如果在n个随机变量，它的联合分布是正态的，那么这个过程也我们都说这个过程它是一个是正态过程，对不对？这是我们这个定义。那么它的一些性质，它的性质，然后怎么样来证明一个随机过程是正态的，只能按你们现在手上的工具，只能按照它的定义上来证明，来进行进行阐述。我们在这儿我们就解决了两个例子，应该是这样一个例子。
另外一个是我们的一个例子（第二章第39页PPT），这样那么我们在证明过程中注意到，这些话一句话都不能省。。
然后再接下来我们讲到独立增量过程，独立增长过程首先它的定义，它的增量首先是统计独立，要把这个项目我们先抓住他，然后这个时候它的特殊函数满足什么样的性质，独立增长过程是无后验的马尔可夫过程。这个结论我们要请人来证明。
然后第二是平稳的独立增长，这个过程它的定义，这样我们的给分给的严格的。那么这个时候对于平稳的独立增量过程，它的均值函数和它的方差函数是和他的时间成正比，对不对？然后他的协方差函数是他两个时刻中间最大的那一个最小的一个。
接下来我们介绍了维纳课程。你们书上首先讨论的是布朗运动。布朗运动实际上是可以建模成一个维纳过程。
维纳过程：首先是一个0初值的平稳度的增量过程。第二个，它的增量服从正态分布，正态分布这个时候它的方差是等于c平方平方乘上时间差，增加它的时间而存在的问题。归纳过程，也是正态过程。这就是第二章的总体内容。
第三章 二阶矩过程
实际上这章内容并不多。首先我们讲了甚么是二阶矩。然后，均方连续（su）均方可积如何判断。这些我得通过定义判断，但是定义判断比较复杂。所以我们应该用以什么来判断呢？以他的自相关函数的连续性和可微性和可积性的判断，通过这个方式来判断，这些相关的证据的证明，我们是要求性质和定理证明我们是要求。
然后接下来我们讲到一个均方积分函数，积分方程，那么这一章按照过去我们单独出题的时候，我在电工学院教课的时候，他们的同学教的是我在电工学院教的时候，这一章的考题不超过10分，但是他们你可以发现他们的考题里面这一章考的很重，要注意比如说我举个简单例子， （开始板书）
x ( t ) = ∫ T t + T w ( t ) d t x(t)=\int_T^{t+T}w(t)dt x(t)=∫Tt+Tw(t)dt。然后 w w w是维纳过程。求他的均值，然后或者说证明这个过程是不是平稳的。
如果说这个时候我们有可能还可能考虑，我看其他学校都在考。 W(t)它是一个周期平稳的过程，然后他这儿 t加几，然后让你判断这个过程，x是这个过程是什么样的过程？那么我希望像这类型新题，你们书上也有两个例子，我们也讲过，需要你们下来，把它弄清楚，肯定都是三个班同时做这个事情。实际上像这类信息你们在本科都没有运用本科的内容也可以做。这就是第三章内容。
第四章 平稳过程
然后第4章我们给你们讲的第4章，平稳过程。
平稳过程，我们在前面都已经在分类了，（复习的内容和）有所反映，那么（这里）还是又进一步给你们强调了评论过程他的定义，宽平稳严平稳的定义。
然后接下来我们要分析它，平稳过程他的谱分解。然后这个谱分解（需要掌握的是）、它的功率谱密度，它的谱函数以及随机谱函数（），这三个谱函数的关系（之后没听清）。这里面假设我都把PPT上那个例子作为考题，你们算得出来吗？也就是说一个序列的它是平稳的。
那么对这个序列进行先进组合，给了另外一个序列。那么已知这个随机序列的谱函数或者是功率谱密度函数，求组合序列过后的随机序列的随机谱函数？这里我们的（研究生）工程背景是很强的。也就是说去年通过滤波器（考察你们），也是这个玩意对不对？也就是说去年通过线性时不变滤波器系统（来考察你们，也是考）也是这个东西。然后对一个平稳序列进行a二模型建模，也是这个东西。而且（阿姆？）模型建模也是这个观念，因此它的工程性是很强的。你们不要单单的看到我们给你的PPT上，只讲那个例子，我们也是经过千挑万选，挑的是给你的。
接下来如何判断一个平稳过程中的子集具有各态历经性，不是所有平稳过程都具有各态历经。只有满足一定条件下才具备他的各态历经性。那么这个里面有君子各态历经性和相关，果各（开始结巴）态历经性。已经有些书上把既满足均值各态历经性，又满足相关各态历经性把称为广义各态历经性。那么这种表示方式只是国内的人的认同。注意到是国内的那些不负责任的人的认可（阿bin哥就是犀利！）。国外的人没有说什么广义各态历经性这个说法，国外的书上只有均值各态历经性和相关各态历经性两种。
如何去判断它？如何去判断呢？无论是在谁，在功率谱密度函数的物理意义，或者是相关各态历经性均值各态历经性的具体的证明过程中，我们用到了将一个矩形区域，通过一定变换成一个大的菱形区域，这个过程变不来的，同学们自己去把它确保清楚，无论是在布局供给函数，在物理意义上，我们用到了将了一个矩形区间，已经去通过一定的变化可以把它变换成一个什么？菱形区域对不对？（开始复读）因为那么根菱形区域的特性，这积分上下限我们有所变化。
这就是这一章。。。这一章还有一点要注意的是.。。。不过这个是送分的!平稳过程，通过LTI系统，它的输入输出特性，以及它的功率谱特性。
第4章内容相对来说同学们比较简单。
第五章 高阶统计（唐斌告诫不要花时间）
所以第5章我们这个书上我们这里的第5章高阶统计，随机过程的高阶统计，同学们不要用过多的时间去看，我们考分他们的两个班上是不多，我们只有一个填空题，先给你说清楚，只有一个填空题，我觉得还是少得两分，多的也就是三分。这个应该很简单，对不对？不一样。
第六章 泊松过程
是第6章内容，我们的泊松过程也就是你们书上的第三章。
泊松过程两个定义之间必须要理解清楚，同学们！尤其是他的一个定义：要在非常短的时间内最多到达一个顾客，对不对？到达两个以上的工程的概率是0，对不对？（经典口癖复读）这个概念的模型，实际上这个过程我也翻译为它的到达的顾客数，满足我们的泊松分布。那么这两个定理之间的证明，同学们一定要搞清楚，首先泊松过程是一个平稳独立增长过程（！@#￥%……&？我和语音bot都没听懂这一句），因此它的均值它的方差肯定只有和时间是成正比。那么泊松过程的性质，我们有些推了，有些没推。绝大部分我们都推过。的两个独立分布参数的泊松过程之和，他们最后的分布参数是他们的分布参数之和，对不对？这个同学们，如果我们要请你们证明，你要能够证明的出来哟！用它这个啥子？特征函数函数，对不对？因为两个独立的泊松分布，它的特征函数是它们两个的特征函数的乘积。
然后接下来对于泊松分布它也是一个计数过程。那么首先它是取非负整数取值这样一类过程。因此还有一个到达的时间间隔以及到达的时频它们的分布，它们这些分布满足什么样的分布特性？它的所有期望？它的特征函数？等等，有可能它还是说他的素质特征具有什么样的特性？（这些）要能够算得出来，要给他算一算。
然后对于非平稳的，也就是说非齐次的泊松过程，它的定义是什么？然后复合的泊松过程，它的定义，它的物理含义，以及它的相关性质，简单的你们要能够证明，复杂的我们都不要求。
第七章 马尔可夫过程
马尔可夫过程的定义，同学们一定得摸清楚：它是一个无后验的！
然后什么是马尔科夫链？什么是齐次的马尔科夫链？这个里面有一个重要的方程叫做塞克（CK）方程，那么我们在整个的马尔可夫过程中，都有很多地方能用到全概率公式。什么是全概率公式？同学们自己去把数理统计摸清楚。
那么马尔科夫链和马尔科夫过程它（们）的状态，我们怎样进行来分类？：可达性、互通性以及我们的闭集，以及后面的常返态和非常返态对不对？然后常返态里面包含了正常返和零常返。什么时间，如何判断一个状态是常返态？如何判断一个状态是非常返态？我们讲了三种判断模式：
如何判断这个状态是零常返或正常返是？通过它的平均返回时间，对不对？如果这个返回时间是一个无穷大，那么这个是一个零常返，如果是一个小于，它是个有限值，那么它是正常返。
那么在什么情况下，只有零常返在什么情况下只有正常返？那么这一章定理的证明，尤其是对马尔科夫链，对定理的证明：比如说对于时间离散，状态离散这类马尔科夫过程，相关的定理证明我们是要求同学们掌握的！我举个简单例子，这两个状态他是互通的，其中一个是常返态，另外一个必定也是常返态。这个里面用的最多的也是到处在用我们的CK方程，那么CK方程我们有一个变种，也就是这个时候他和我们的迟早到达概念联系起来了，那么怎么样去求他的马氏链还有马氏过程它的极限分布还有它的平稳分布？
那么在这里面还有同学要注意到绝对分布。什么是绝对分布？绝对分布和初始分布他们怎么联系起来？然后对时间连续状态离散的马氏过程。这个里面要同学们要注意到的，他的转移强度矩阵转移强度存在，它的定义是怎么来定义的？然后在什么情况下，（莫名其妙插入语）我们这个矩阵是一个保守矩阵。那么它要保守，我们这个矩阵必定满足什么样的特性？然后这个里面我们引入了锅儿摸哥咯f（Kolmogorov）前进和后退方程，怎么样来求解这两个方程？什么条件下用前进方程，什么条件下用后退方程？在什么条件下这两个方程用起来是一样的？
那么再接下来我们就讲到它的平稳分布，或者说他的极限分布对不对？
然后我们讲到例子里面，我们讲到三类（问题）：第一个叫做机器维修问题，在机器维修问题里面，同学们我们要看到这个例子，我们的表述哦！他有时候表述为比如说机器的正常工作时间服从一个负指数分布，反正他赋值的一个区间服从一个指数分布，参数为 λ \lambda λ的一个指数分布。那么这个时候就马上反应过来，它的平均正常工作时间应该是 1 / λ 1/\lambda 1/λ哟！
那么有时候它可能比如说这个机器的平均的维修时间是1/6，马上反应过来，这也是一个指数分布。同学们要注意到。然后在解决这个方程的时候，别忘了最后你们答案要带上尾巴 t ≥ 0 t\geq 0 t≥0！最后你比如说把整个这个东西求出来了，别忘，就要带着尾巴！这个事情隆重的提醒！以前我们也提醒过，但是很多同学都是对不对？他们的水平要求很高，他都不带这个尾巴，这没关系，你不带这个尾巴，我们比如说其实这个就是10分，我们都可能要扣一两分（斌哥重要的事情说的都不止三遍）。
那么对于机器维修问题，我们讲了两个例子，你们书上还有一个例子，你们自己应该说通过综合起来应该是没有很多问题。
然后第二个我们讲了一个大概叫做生灭过程，对不对？讲了一个生灭过程，我们很多时候随机过程跟马尔科夫过程都可以看成是一个但是生灭过程那么这个里面最典型的就是 m M E n的排队类，mmen在排队。
那么像这种类型的题，首先要知道通过题目去分解他，就分析他，首先要把他的状态空间先去引导，你去状态空间你决定错了，你现在后面的全部是错的。
（下面开始吹逼，最精华部分
那么在这里面我们讲的例题是够多的了，是不是（皇帝的新例题）？你看你们书上绝对找不到这么多例题。（我给你们）讲了很多很多。
某个马尔可夫过程某个状态，要是常返态，它必须满足的条件，我们也是通过这个东西，我们怎么样去求它的首达概率以及迟早到达概率。那么过去他们两个班上考了一个就是（黑丝特？）的模型。同学们很简单，在初中就开始干这个事，就是一个坛子里面有多个球，然后放来放去。我们告诉过你哟，它的每个球的概率它怎么求？还是即使你以前的概率论学的不太好，但是我们通过我们讲课的时候也告诉了，他的概率是怎么去求他的。我们后面讲到的更新过程以及马尔可夫的更新过程，作为你们的选修内容我们是不考。
（这是有同学问：上次不是说考一题吗？
唐斌：最多考一题填空？
（同学哗然
唐斌：这个东西填空反正也就两三分吧，学的好的同学一下子拿到了。学得不好的同学，你丢了三分也不影响你的考试。
（同学笑场：好有道理！
我想通过今天给你们串起来给你们讲到我们下来也知道该怎么复习了。这本书从同学们看到了，还有他那个书上还有什么折算过程的带通过程，那么模型的这些玩意，阿尔法模型AR模型，还有mm模型在现代数字信号处理这门课里面，为什么要想然后怎么迭代过程带通过程，这个是这个是不应该在我们这儿来讲，对不对？应该是本科内容对不对？所以说其他问题根本不考虑。好的，请同学们还有什么要问的？（这时，摆出一副不想被问的样子）要问的东西请死必可捞的雷(SPEAK LOUDLY)如果这样你们再考不好，就有问题了，是不是？没有，好（有同学开始问了，然后老师装作没听见的样子）好，再见，谢谢。大家下课了。1
唐斌老师的感人板书 ↩︎
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