数据结构-----算法复杂度（大O表示法）

为什么要先聊这个算法复杂度呢？

首先，我们先聊聊算法。“老衲”经常听别人说起算法，但还是不太明白算法是什么。

先拽一大段概念：

算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

是不是看不懂，不想看？让我用白话文给你道道：

算法，在日常生活中也是随处可见的。比如“老衲”要去上学，怎么去上学？

做飞机，机票贵（引申到程序上就是耗费空间），但是时间快呀
坐火车，火车票便宜，但老衲肯定要好久才能到学校，时间又耗费了很多

其实，上面的两种策略就是算法。也就是为了达到“去学校”这一目的，根据自身情况（比如我钱多，我就是要最快到；比如我钱紧张，时间还是很充裕）来选择不同的方式去上学。

同理，算法也有空间复杂度（引申到现实生活就是耗费的价格）和时间复杂度两个标准来衡量它们的好坏。

大O表示法

声明一下，由于个人能力有限，对于时间复杂度和空间复杂度的表示，掌握到了程序的大致表示，如果对复杂度的计算有浓厚的兴趣，可以去看看《c++数据结构与算法》第二章，讲得挺全面！

什么是大O表示法？

come on! 接着来聊，什么是大O表示法呢？

由于程序运行所需的时间往往会受到机器性能与其他因素影响，用绝对的时间单位衡量算法的效率并不合适。在讨论算法复杂度的时候，我们一般关注它的近似值（渐进趋势），即渐进复杂度，常用大O表示法表示。

O(1)	常数时间复杂度
O(log n)	对数时间复杂度
O(n)	线性时间复杂度
O(n^2)	平方
O(n^3)	立方
O(2^n)	指数
O(n!)	阶乘

以上7种即为常见的时间复杂度/空间复杂度。

这些又有什么含义呢？先来看下面这张图：

可见，几种时间复杂度的增长速度顺序为：O(1) < O(log n) < O(n) < O(n ^ 2) < O(n ^ 3) < O(2 ^ n) < O(n!)

n是什么

n就是算法的输入规模，就是输入数字的数量。

明白了n是什么，就可以大概解释一下7个表达式的含义了。以O(n^2)为例，它表示当输入规模为n时，时间复杂度接近于n^2。

悟出门道了吗？"老衲"说没有。没关系，接下来我将结合代码来解释一下这几种常用时间复杂度的意思。（如果对程序比较陌生，可以先点开超链接看看我对这块的理解 程序是什么？）

O(1) 常数复杂度

int n = 1000;
System.out.println("Hey - your input is: " + n);

上面这段代码的时间复杂度就是常数级别的，没有循环，一条语句。

int n = 1000;
System.out.println("Hey - your input is: " + n);
System.out.println("Hmm.. I'm doing morestuff with: " + n);
System.out.println("And more: " + n);

这段代码的时间复杂度也是O(1)。

O(log n) 对数复杂度

log n即为log₂n，这里省略了对数的底数2。“老衲”学过高数，对log n一定不会陌生了。

下面这段代码的时间复杂度即为O(log n)。

for(int i = 1; i < n; i = i * 2)
{System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i);
}

留给“老衲”的思考题：思考一下为什么是 i * 2？

O(n) 线性复杂度

顾名思义，从上面那张图中可以看出函数图像为一条直线。

下面这段代码时间复杂度即为线性阶。单重循环遍历1~n并打印出来，共循环了n次。

for(int i = 1; i <= n; i ++)
{ System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i);
}

O(n^2) 平方

明白了n次单重循环时间复杂度为O(n)，就不难理解下面的双重循环嵌套，共运行n*n次，即时间复杂度为O(n^2)了吧。

for (int i = 1; i <= n; i ++)
{ for (int j = 1; j <= n; j ++){ System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i + " and " + j); }
}

O(n^3) 立方

以此类推，聪明的“老衲”一定能猜到O(n^3)时间复杂度的程序该怎么写。

O(2^n) 指数

下面代码的时间复杂度就是O(2^n)。

for (int i = 1; i <= Math.pow(2, n); i++){ System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i);
}

O(n!) 阶乘

public static int fibonacci(int n)
{ // 这个方法的功能是递归求第n个斐波那契数if(n == 1 || n == 2)return 1;elsereturn fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}public static void main(String[] args)
{for(int i = 0; i < fibonacci(6); i ++) // 这里的for循环对时间复杂度影响不大System.out.println("Hey - I'm busy looking at: " + i);
}

O(n!)复杂度常出现在递归的算法中。上面的代码功能为递归求解第n个斐波那契数，时间复杂度为O(n!)。

递归没有理解没关系，这里简单介绍一下，如果想要深入理解递归请点击超链接查看我的另一篇博客：（此处应有超链接）

先来看看上面代码中用到的公式：

fibonacci(n) = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)    // 这是斐波那契的一种写法

代入一个数，比如6，画出递归树看一下这段代码是如何运行的：

不难看出来，运行这小小的一句代码时间成本巨大，只是一个小小的6，就让计算机运行了6!次，显然是不划算的。

在后面的算法文章里面，会细致地讲讲如何通过不同的方式来降低算法复杂度！

如何计算算法的渐进复杂度？

当我们得到算法的运行次数后，可以通过以下三步求出大O表示法表示的渐进时间复杂度：

用常数1取代运行时间中左右加法常数
在修改后的运行次数函数中只保留最高阶项
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

举几个例子：

执行次数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n + 3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
	O(log n)	对数阶
	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶
递归	O(n!)	阶乘阶

结束语

明白了7个大O表示法，可以返回去看看折线图，它反映了当n为不同值时，不同渐进时间复杂度的增长趋势！

“老衲”，你理解了吗？