一、什么是关键路径？

关键路径：若有向图中，各顶点表示事件，各有向边表示活动持续事件，则该图为活动边网络，简称AOE网。AOE网中的关键路径，就是完成整个网络所需的最短时间，亦最长路径，AOE网中，往往有若干项活动可以平行的进行，因此，从开始顶点到最后一个顶点的最长路径称为关键路径。

1、现实问题

问题：

假设以有向图表示一个施工流图，弧上的权值表示完成该项子工程所需时间。
问：整个工程完成的最短时间？以及哪些活动将是影响整个工程如期完成的关键所在？

使用图描述上面情况：

弧表示活动
弧上的数字表示完成该项活动所需的时间。

二、关键路径相关概念？

1、AOE(Activity On Edge)网：若以弧表示活动，弧上的权值表示进行该项活动所需的时间，以顶点表示事件Event，称这种有向网为==边活动网络==，简称为AOE。

2、事件：是一个关于某几项活动开始或完成的断言。

指向它的弧表示的活动已经完成。

而从它出发的弧表示的活动开始进行

整个有向图也表示了活动之间的优先关系

这样的有向网也是不允许存在环的

3、源点和汇点：

源点：表示工程开始事件的顶点的入度为零。

汇点：表示工程结束事件的顶点的出度为零。

一个工程AOE网应该是只有一个源点和一个汇点的有向无环图

4、关键路径和关键活动：

关键路径：由于AOE网中某些活动可以并行进行，故完成整个工程的最短时间即为从源点到汇点==最长路径的长度==，这个路径称为关键路径。

关键活动：构成关键路径的弧即为关键活动。

实例：下图工程从开始到完成需要18天

a1、a4、a8和a11四项活动必须按时开始并按时完成，否则将延误整个工程的工期，使整个工程不能在18天内完成。

于是，称a1、a4、a8和a11为AOE图的关键活动。

由a1、a4、a8和a11构成的路径称为关键路径。

三、关键路径算法实现？

1、算法分析

相关概念
- 假设顶点v0为源点，vn-1 为汇点
- 时间v0的发生时刻为0时刻
- 从v0到vi的最长路径叫做事件vi的最早发生时间
- 用e(i)表示==活动的最早开始时间==。（这个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示活动的最早开始时间）
- 用l(i)表示==活动的最晚开始时间==。
- 两者之差l(i)-e(i)意味着完成活动ai的时间余量
- 当l(i)=e(i)时的活动成为==关键活动==。
- 用ve(j)表示==事件vj的最早开始时间==。
- 用vl(j)表示==事件vj的最晚开始时间==。
关键路径和非关键路径分析

顶点v0到v8的一条关键路径是：(v0, v1, v4, v6, v8) ，路径长度为18。
活动a6不是关键活动，它的最早开始时间为5，最晚开始时间为8，时间余量为3。也就是说a6延迟3天，并不会影响整个工程的完成。

总结：

1.要缩短整个工程，必须先找到关键路径，提高关键活动的工效。

2.由于关键路径上的活动都是关键活动，所以，提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。

2、算法步骤

1、从源点v0触发，令ve(0) = 0，按拓扑有序序列求其余各顶点的ve(j)=maxi {ve(i) + |vi, vj| } , <vi, vj> ∈ T，其中：T是所有以vj为头的弧的集合。若得到的拓扑有序序列中顶点的个数小于网中的顶点个数n，则说明网中有环，不能求出关键路径，算法结束。

2、从汇点vn-1出发，令vl(n-1) = ve(n-1) ，按逆拓扑有序序列求其余各顶点的 vl(i)=minj {vl(j) - |vi, vj| } , <vi, vj> ∈ S，其中：S是所有以vj为尾的弧的集合。

3、求每一项活动ai（1<=i<=n）的最早开始时间e(i)=ve(j)，vj是ai的起点。

4、求每一项活动ai的最晚开始时间l(i) = vl(j) - |vi, vj| , vi是ai的起点， vj是ai的终点。

5、若对于满足e(i) = l (i) ，则它是关键活动

两条关键路径：

3、算法实现

public class CriticalPath {private LinkStack T = new LinkStack();   // 拓扑逆序列顶点栈private int[] ve, vl;                    // 各顶点的最早发生时间和最迟发生时间// 有向图G采用邻接表存储，求各顶点的最早发生时间ve，若G无回路，则用栈T返回G的一个拓扑序列，且函数返回true，否则为falsepublic boolean topologicalOrder(ALGraph G) throws Exception {int count = 0;                                     // 输出顶点计数int[] indegree = TopologicalSort.findInDegree(G); // 求各个顶点的入度LinkStack S = new LinkStack();                      // 建零入度顶点栈Sfor (int i = 0; i < G.getVexNum(); i++)if (indegree[i] == 0)                         // 入度为0者进展S.push(i);ve = new int[G.getVexNum()];                       // 初始化while (!S.isEmpty()) {int j = (Integer) S.pop();T.push(j);                                       // j号顶点入T栈并计数++count;for (ArcNode arc = G.getVexs()[j].firstArc; arc != null; arc = arc.nextArc) {int k = arc.adjVex;if (--indegree[k] == 0)                        // 对j号顶点的每个邻接点的入度减1S.push(k);                               // 若入度减为0，则入栈if (ve[j] + arc.value > ve[k])ve[k] = ve[j] + arc.value;}}if (count < G.getVexNum())return false;                                  // 该有向图有回路elsereturn true;}// G为有向图，输出G的各项关键活动public boolean criticalPath(ALGraph G) throws Exception {if (!topologicalOrder(G))return false;vl = new int[G.getVexNum()];for (int i = 0; i < G.getVexNum(); i++)// 初始化顶点时间的最迟发生时间vl[i] = ve[G.getVexNum() - 1];while (!T.isEmpty()) {                    // 按拓扑逆序列求各顶点的vl值int j = (Integer) T.pop();for (ArcNode arc = G.getVexs()[j].firstArc; arc != null; arc = arc.nextArc) {int k = arc.adjVex;int value = arc.value;if (vl[k] - value < vl[j])vl[j] = vl[k] - value;}}System.out.println("ve:事件最早发生时间、vl事件最晚发生时间");System.out.println("事件ve\tvl");for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {int ee = ve[j];int el = vl[j];System.out.println(G.getVex(j) + "\t" + ee + "\t" + el);        // 输出关键事件}System.out.println("e:活动最早开始时间、l：活动最晚开始时间");System.out.println("源点-->\t汇点权值\te\tl\tl-e\t关键活动");for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++)// 求ee，el和关键活动for (ArcNode arc = G.getVexs()[j].firstArc; arc != null; arc = arc.nextArc) {int k = arc.adjVex;int value = arc.value;int ee = ve[j];int el = vl[k] - value;char tag = (ee == el) ? '*' : ' ';System.out.println(G.getVex(j) + "\t->\t" + G.getVex(k) + "\t"+ value + "\t" + ee + "\t" + el + "\t" + (el-ee) + "\t" + tag);       // 输出关键活动}return true;}public static void main(String[] args) throws Exception {ALGraph G = GenerateGraph.generateALGraph();CriticalPath p = new CriticalPath();p.criticalPath(G);}
}// 调试结果：
//ve:事件最早发生时间、vl事件最晚发生时间
//事件  ve    vl
//v0    0   0
//v1    6   6
//v2    4   6
//v3    5   8
//v4    7   7
//v5    7   10
//v6    16  16
//v7    14  14
//v8    18  18
//e:活动最早开始时间、l：活动最晚开始时间
//源点-->  汇点  权值  e   l   l-e 关键活动
//v0    ->   v3  5   0   3   3
//v0    ->   v2  4   0   2   2
//v0    ->   v1  6   0   0   0   *
//v1    ->   v4  1   6   6   0   *
//v2    ->   v4  1   4   6   2
//v3    ->   v5  2   5   8   3
//v4    ->   v7  7   7   7   0   *
//v4    ->   v6  9   7   7   0   *
//v5    ->   v7  4   7   10  3
//v6    ->   v8  2   16  16  0   *
//v7    ->   v8  4   14  14  0   *

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