文章目录

  • 一、常微分方程概述
    • 1.什么是常微分方程
    • 2.以微分方程解决实际问题的一般思维
    • 3.微分方程求解
    • 4.微分方程适用问题
    • 5.建立微分方程模型的方法
  • 二、物体的冷却过程
    • 1.问题背景
    • 2.问题分析
    • 3.模型建立与求解
  • 三、水桶的放水过程
    • 1.问题背景
    • 2.问题分析
    • 3.模型建立与求解
  • 四、放射性废料的处理
    • 1.问题背景
    • 2.问题一模型建立
    • 3.问题一模型求解
    • 4.问题二模型建立
    • 5.问题二模型求解
    • 6.结果分析
  • 五、预测人口的增长
    • 1.问题背景
    • 2.问题分析
    • 3.模型求解
  • 六、捕鱼业的持续收获
    • 1.问题背景
    • 2.问题分析
    • 3.问题假设
    • 4.模型建立
    • 5.一阶常微分方程的平衡点及其稳定性
    • 6.模型求解
    • 7.推广（效益模型）
  • 七、军备竞赛
    • 1.问题背景
    • 2.模型假设
    • 3.模型建立
    • 4.模型求解（线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性）
    • 5.模型解释
  • 八、种群的相互竞争
    • 1.问题背景
    • 2.模型假设
    • 3.模型建立
    • 4.模型求解
    • 5.各个平衡点稳定性的相轨线分析
    • 6.结果分析
  • 九、种群的相互依存
    • 1.问题背景
    • 2.第一类类模型假设和建立
    • 3.第一类模型求解
    • 4.第一类结果分析
  • 十、种群的弱肉强（食饵-捕食者模型）
    • 1.问题背景
    • 2.模型建立
    • 3.模型求解
    • 4.模型解释
    • 5.模型的缺点与改进
  • 十一、药物中毒急救
    • 1.问题背景
    • 2.问题分析
    • 3.模型假设
    • 4.模型建立
    • 5.模型求解
    • 6.结果分析
  • 十二、人口增长（两种模型的参数估计）
    • 1.问题背景
    • 2.指数增长模型参数估计（数据拟合）——最小二乘法
    • 3.指数增长模型参数估计（数据拟合）——数值微分
    • 4.改进后的指数增长模型参数估计（数据拟合）——线性最小二乘法
    • 5.三类方法比较与结果分析
    • 6.logistic模型——数值微分计算增长率，线性最小二乘估计参数
    • 7.logistic模型——非线性最小二乘估计参数
    • 8.两类方法比较与结果分析
    • 9.小结与批注

一、常微分方程概述

1.什么是常微分方程


前为数学摆方程，后为拉普拉斯方程

要确定每次积分后 C C C的值

2.以微分方程解决实际问题的一般思维


3.微分方程求解

4.微分方程适用问题

5.建立微分方程模型的方法


二、物体的冷却过程

1.问题背景

2.问题分析

3.模型建立与求解

三、水桶的放水过程

1.问题背景

2.问题分析

3.模型建立与求解

四、放射性废料的处理

1.问题背景


2.问题一模型建立


3.问题一模型求解

利用MATLAB求解




4.问题二模型建立

5.问题二模型求解




6.结果分析

五、预测人口的增长

1.问题背景

2.问题分析



3.模型求解

六、捕鱼业的持续收获

1.问题背景

2.问题分析

3.问题假设

4.模型建立


5.一阶常微分方程的平衡点及其稳定性

当 t t t趋于正无穷大时， x ( t ) x(t) x(t)趋于 x 0 x_0 x0​

使用泰勒展开，方程二为线性更易求解，使用变量分离法求解

6.模型求解

预测长时间后的情况

7.推广（效益模型）

效益最大点小于 r 2 \frac{r}{2} 2r​


拿 E s 1 E_{s1} Es1​、 E s 2 E_{s2} Es2​与 E ∗ E^{*} E∗比较

七、军备竞赛

1.问题背景

2.模型假设

3.模型建立

4.模型求解（线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性）




5.模型解释

八、种群的相互竞争

1.问题背景

2.模型假设

3.模型建立

4.模型求解


泰勒展开，近似


代入四个平衡点，求满足 p , q p,q p,q要求的平衡点

5.各个平衡点稳定性的相轨线分析


6.结果分析

理解为竞争能力，定性分析

九、种群的相互依存

1.问题背景

2.第一类类模型假设和建立

由于乙不能独立生存，所以在方程中为 − 1 -1 −1

3.第一类模型求解

要求 p q pq pq都大于0

关于平衡点 P 2 P_2 P2​ 的相规线分析
由四个小区域 s 1 , s 2 , s 3 , s 4 s_1,s_2,s_3,s_4 s1​,s2​,s3​,s4​，分析最终如何趋于平衡点

4.第一类结果分析

十、种群的弱肉强（食饵-捕食者模型）

1.问题背景

2.模型建立

3.模型求解

雅可比矩阵
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数




积分求解，先将原式 x ( t ) x(t) x(t)替换，接下来就方便求积分
根据周期性，可知 y ( T ) = = y ( 0 ) y(T)==y(0) y(T)==y(0)，所以相减结果为0

4.模型解释



之前为自然情况的种群的发展，当有捕捞时，影响了食饵的自然增长率，捕食者的独立生存死亡率，种群的平均水平都有所下降；
战时捕捞，捕捞强度下降，种群平均水平有所回升；

5.模型的缺点与改进


十一、药物中毒急救

1.问题背景

2.问题分析


3.模型假设

半衰期是指血液中药物的浓度降低一半所需用的时间

4.模型建立

5.模型求解

变量分离
非齐次一阶线性微分方程，以常数变易求解

6.结果分析

假设血液总量为2000ml
根据临界药量算出临界时间，判断此时状况，再根据不同急救措施计算方程，讨论该采取何种措施；也可直接求出血药浓度立即所需要的最小排除率（也就是此时的导数为0）——原先的4.23倍



十二、人口增长（两种模型的参数估计）

1.问题背景

2.指数增长模型参数估计（数据拟合）——最小二乘法

3.指数增长模型参数估计（数据拟合）——数值微分

4.改进后的指数增长模型参数估计（数据拟合）——线性最小二乘法

5.三类方法比较与结果分析



6.logistic模型——数值微分计算增长率，线性最小二乘估计参数

7.logistic模型——非线性最小二乘估计参数

从方程的解出发

8.两类方法比较与结果分析


9.小结与批注

数学建模笔记（六）：常微分方程及其应用相关推荐

  1. 数学建模笔记——插值拟合模型（二）

    今天是8月21日,距离上次写文章好像将近一个月了--这段时间经历了建模校内选拔赛,考试周,以及与网络小说的斗智斗勇--好吧,其实也没干什么,除了考试就是荒废-- 我最近有在思考一个问题,就是我所关注的 ...

  2. 数学建模笔记之一起读论文2019年C题——机场的出租车问题

    数学建模笔记之一起读论文--机场的出租车问题 2021-8-28 全国大学生数学建模竞赛 2019年C题 B站链接--国赛C题真题解析 1 赛题阅读与分析 原题再现: 问题C 机场的出租车问题 大多数 ...

  3. 数学建模笔记——评价类模型之灰色关联分析

    这一篇就简单介绍一下灰色关联分析吧.灰色关联分析主要有两个作用,一是进行系统分析,判断影响系统发展的因素的重要性.第二个作用就是用于综合评价问题,给出研究对象或者方案的优劣排名. 不过这里我只能简单介 ...

  4. 清风数学建模笔记——Excel画图保姆级教学

    备注:本篇内容是在Office环境下作图,WPS不支持直方图和箱线图好像.免费的Office软件可以在微信搜索中搜"Office"然后挑一个下载即可 本文借鉴了数学建模清风老师的课 ...

  5. 数学建模笔记-第十四讲-主成分分析

    文章目录 主成分分析 数据降维 主成分分析思想 PCA计算过程 主成分分析的应用 例1 主成分的说明 例2 MATLAB 对结果的解释 主成分分析的滥用:主成分得分 主成分分析用于聚类 主成分回归 说 ...

  6. 2018国赛数学建模笔记

    负责部分:搜集文献,推导一维热传导方程,提出解析解,第二问循环求解,论文写作 写作心得体会: 1.摘要很重要,基本上凭摘要初筛.必须指明研究的主要内容,使用的主要方法,得到的主要结论和成果 摘要 (第 ...

  7. 数学建模笔记-第五讲-相关系数

    文章目录 相关系数 pearson相关系数 相关性可视化 误区 相关系数大小的解释 例题 描述性统计 matlab excel SPSS 矩阵散点图 计算相关系数 热力图美化结果 对相关系数进行假设检 ...

  8. 数学建模笔记-第七讲-回归分析

    文章目录 回归分析 线性回归介绍 回归系数 内生性探究 蒙特卡罗代码 弱化无内生性条件 四种模型 回归系数的解释 四种模型回归系数的解释 虚拟变量 多分类的虚拟变量设置 含交互项的自变量 应用题(奶粉 ...

  9. 数学建模笔记（1）——评价类问题

    写在前面,以下为几天后的数学建模做准备,鉴于非工科背景出身,决定放弃A类题,以C类题为主,辅以B题开始学习. ( 内容主要参考知乎.CSDN及B站网课,会表明出处,侵删) 首先研究评价类问题 例如,2 ...

  10. python三次样条插值拟合的树行线_数学建模笔记——插值拟合模型(一)

    啊好像距离上次写作又过了七天,啊好像我之前计划的一周两三篇,啊辣鸡小说毁我青春,啊我是一只可怜的鸽子. 不管怎样,我又回来了,并坚定地更新着hhh.再过两三天就是我们学校数学建模选拔,再过八九天就是期 ...

最新文章

  1. 2021春季学期-创新与实践-硬件平台硬件
  2. linux服务器磁盘格式,linux下查看磁盘分区的文件系统格式
  3. 初学SSH 配置+错误总结
  4. c语言 静态变量 初始化,c – 静态变量初始化两次
  5. html自动执行函数,JS 自执行函数原理及用法
  6. iframe跨域通信的通用解决方案-第二弹!（终极解决方案）
  7. SpringBoot与任务
  8. linux刮刮乐小游戏源代码,HTML5-Canvas实例：刮刮乐游戏
  9. 微课|中学生可以这样学Python（例7.3）：栈
  10. 第三章 比特币的实现机制
  11. MySQL ( Ubuntu16.04 )
  12. Java_键盘输入语句
  13. 送给女朋友的情人节礼物---超贴心小程序
  14. django开发个人博客系统
  15. Git 团队协作常用术语 WIP PTAL CC LGTM
  16. andorid 源码北京公交线路查询（离线）
  17. Java ini文件读写修改配置内容以及使用org.dtools.javaini-v1.1.00.jar中文乱码
  18. 韩国服务器搭建网站慢怎么办,如何提升韩国服务器访问速度？
  19. Excel数据可视化——隐藏相同数据
  20. 下载文件plus.downloader.createDownload

热门文章

  1. 15 个 Java 线程面试题和答案
  2. 《大话数据结构》_程杰_学习笔记——第一章(java版本)
  3. Oracle删除重复数据只保留一条
  4. 校园接单网站源码/跑腿网源码
  5. 高斯-伯努利玻尔兹曼机
  6. 韩公开日机抵近军舰照片 韩媒：欲基于事实化解争议
  7. 会员模块（会员注册、会员登录、忘记密码、会员中心）
  8. 有兴致地研究这个赤条条躺在地上
  9. Android 驱动和系统开发 2. 解析模拟器GPS模块 （原创）
  10. 【100%通过率】华为机试真题 Python 实现【对称美学】【2022.11 Q4 新题】