洛谷 P3802 小魔女帕琪题解

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题目大意： 有 7 7 7 种物品，第 i i i 种有 a i a_i ai 个，现在这 n = ∑ i = 1 7 a i n=\sum_{i=1}^7a_i n=∑i=17ai 个物品随机排成一列，问期望能触发多少次帕琪七重奏（指相邻的七个物品互不相同）。

题解

大力找规律。

先看前 7 7 7 个物品触发的概率（即期望）： a n s 1 = 7 ! × a 1 n × a 2 n − 1 × a 3 n − 2 × a 3 n − 1 × a 5 n − 4 × a 6 n − 5 × a 7 n − 6 ans_{1}=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6} ans1=7!×na1×n−1a2×n−2a3×n−1a3×n−4a5×n−5a6×n−6a7

再看第 2 2 2 ~ 8 8 8 个物品，如果他们要触发，那么他们之中肯定有一个物品，它的种类和第 1 1 1 个物品相同。

枚举一下就是：

第 1 1 1 个物品种类为 1 1 1 时： a n s 2 = 7 ! × a 1 n × a 2 n − 1 × a 3 n − 2 × a 3 n − 1 × a 5 n − 4 × a 6 n − 5 × a 7 n − 6 × a 1 − 1 n − 7 ans_2=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}\times \frac {a_1-1} {n-7} ans2=7!×na1×n−1a2×n−2a3×n−1a3×n−4a5×n−5a6×n−6a7×n−7a1−1

第 1 1 1 个物品种类为 2 2 2 时： a n s 2 = 7 ! × a 2 n × a 1 n − 1 × a 3 n − 2 × a 3 n − 1 × a 5 n − 4 × a 6 n − 5 × a 7 n − 6 × a 2 − 1 n − 7 ans_2=7!\times \frac {a_2} n\times \frac {a_1} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}\times \frac {a_2-1} {n-7} ans2=7!×na2×n−1a1×n−2a3×n−1a3×n−4a5×n−5a6×n−6a7×n−7a2−1

以此类推。（注意，这里的 7 ! 7! 7! 是指第 2 2 2 ~ 8 8 8 个物品全排列的方案数，不是 1 1 1 到 7 7 7）

如果将 7 7 7 种情况的最后一项加起来，会发现 ∑ i = 1 7 a i − 1 n − 7 = 1 \sum_{i=1}^7\frac {a_i-1} {n-7}=1 ∑i=17n−7ai−1=1，所以所有情况的答案加起来就是 a n s 2 = 7 ! × a 1 n × a 2 n − 1 × a 3 n − 2 × a 3 n − 1 × a 5 n − 4 × a 6 n − 5 × a 7 n − 6 ans_2=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6} ans2=7!×na1×n−1a2×n−2a3×n−1a3×n−4a5×n−5a6×n−6a7，即 a n s 2 = a n s 1 ans_2=ans_1 ans2=ans1。

诶，规律来了。

可以发现，到了后面，对于那些种类重复的物品，我们将它放到最后，然后枚举它的所有情况，然后分配率一下就可以把他消掉，这样不断重复，就能得到 a n s 1 ans1 ans1。

所以答案就是 a n s 1 × ( n − 6 ) ans1\times (n-6) ans1×(n−6)。

代码如下：

#include <cstdio>int n=0,a[10];
double ans=1.0;int main()
{for(int i=1;i<=7;i++){scanf("%d",&a[i]),n+=a[i];if(a[i]==0)return printf("0.000"),0;}for(int i=1;i<=6;i++)ans*=1.0*a[i]/n,n--;ans*=5040.0*a[7]; printf("%.3lf",ans);
}

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