Mathematics for Computer Science
什么是证明【proof】?
证明的存在是超越数学的,那么证明的更高层次的概念是什么?它可能没有潜在的逻辑推导【logical deduction】,也可能没有假设【assumption】。
我认为一般来说,证据【proof】被认为是,跨多个领域【field】,作为一种确定【ascertaing】真理【truth】的方法。这里所说的确定【ascertaing】,是指建立【establishing】真理,验证【verifying】真理。
在社会中,甚至在科学中,有很多方法可以确定真理【ascertaing truth】:
- 实验【experimentation】:观察【observation】,就像看到那块粉笔会掉到地上,,它是物理学的基石,谁知道外面是否有重力?我们可以通过观察,然后我们得出结论,这就是事实
- 抽样【sampling】:反例【counter example
- 法官【judge】和陪审团【jury】
- 宗教【religion】:圣经
- 信仰【conviction】:我的程序没有bug
在数学中,数学证明是通过一系列公理【axioms】的逻辑推导【logical deduction】来对一个命题【proposition】的验证【verification】。
这有点拗口,这里有三个重要的组件:
- 命题【proposition】
- 公理【axioms】
- 逻辑推导【logical deduction】
命题
命题【proposition】是一种非真即假的陈述【statement】。
栗子1(真命题)
2 + 3 = 5
栗子2(假命题)
对所有自然数 {0,1,2,3,4...} n , 是一个质数【prime number】
∀ n ∈ N , 是一个质数
-
是一个质数,也被称为谓词【predicate】,谓词【predicate】是一个命题【proposition】,其真值【truth】取决于变量的值。在这里,变量指的是 n。
- N {0,1,2,3,4...} 则被称为论域【universe of discourse】,这是我们谈论的所有事物的空间,在这里,我们只谈论自然数。
- ∀ 被称为量词【quantifier】
如果要证明该命题成立,那么我们就要证明谓词在所有自然数下均成立。
n |
|
质数 |
1 | 43 | true |
39 | 1601 | true |
40 | 1681 | false 41 * 41 |
41 | 1763 | false 41 * 43 |
栗子3
没有正数解
该命题由尤拉提出,218年后,一个名叫诺姆·埃尔基斯的聪明人终于否决了这个猜想。
a = 95800
b = 217519
c = 414560
d = 422481
所以,真命题应该是 :
∃ a,b,c,d ∈ N+ ,
其中:
- ∃ 是量词【quantifier】,表示存在
是谓词
栗子4
∀ n ∈ Z ,
其中:
- Z 指的是 integer,{0,1,-1,2,-2 ...}
- => 符号是蕴含【implies】
我们现在来定义蕴含【implies】的意义:
当 p 是 false 或者 q 是true 时,则蕴含【implication】p => q 就是真。
下面是真值表【truth table】:
p | q | p => q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
false 蕴含一切都是 true,这看上去有点奇怪。
有一个著名的表达,如果猪能飞,我就当国王了。
这段陈述可以写作:pigs fly => i'm king,它是 true ,因为猪不会飞,不管我是不是国王。因为猪不会飞,尽管这是 false 的,但这句话的蕴含是 true 的。
栗子5
∀ n ∈ Z ,
该命题为假,例如 n = -3
p | q | p=>q | q=>q | p<=>q |
T | T | T | T | T |
T | F | F | T | F |
F | T | T | F | F |
F | F | T | T | T |
这里的关键是总是检查两种方式【way】。
这里为了证明 <=>【if and only if】,我们需要检查 => ,也需要检查 <=。
提问:每个句子【sentence】都是一个命题吗?
答案:No~ 比如"hello","how are you"
公理 axioms
好消息是,公理和命题其实是一回事~
唯一的区别是,公理【axioms】是我们假设【assumed】为真的命题【propositions】
没有证明【proof】能证实公理【axiom】是真的,你只是假设它是合理的~~
公理【axiom】一词来源于希腊,在希腊语中,这并不意味着真,而是意味着值得思考【think worthy】。
在数学中,有很多公理:
- if a = b,b = c,then a = c
公理在不同的上下文下可能是矛盾的~
在欧几里得几何中有这么一个中心公理
- 给定一条线L和一个不在L上的点P,有一条通过P平行于L的线
但是还有一个领域叫做球面几何,这里,你有一个与之相矛盾的公理:
- 给定一条线L和一个不在L上的点P,不存在一条通过P且平行于L的线
还有一个领域叫双曲几何【hyperbolic geometry】:
- 给定一条线L和一个不在L上的点P,有无穷多条经过p平行于L的直线
它们在各自的上下文中是有意义的~~
公理有两个指导原则,公理应该:
- consistent 一致的
- complete 完备的
Def:如果没有一个命题可以被证明即是真又是假,则该公理集是一致的【consistent】
Def:如果一组公理能被用来证明每个命题的真或假,那么它就被称为完备的【complete】
这是可取的,因为这意味着您可以解决所有问题,你可以证明任何事是真还是假。
现在你会认为得到一组满足这两个基本性质的公理集应该不会太难。你想要一个足够强大的公理集来证明一切的真假。
事实证明并非如此!!事实上,许多逻辑学家的职业生涯都在试图找到这样一组公理,它们是一致且完备的。
事实上,罗素和怀特黑德可能是最有名的两个,他们花费了整个生涯都在做这件事,但还是没得到。
然后有一天,这个叫库尔特·戈德尔【kurt Godel】的家伙出现了,在 1930 年代,他证明不可能存在任何一组既一致又完备的公理集。现在,这个发现摧毁了这个领域,这是一个巨大的发现。
这是一个了不起的结果,因为它说如果你想要一致性【consistent】,就会有你永远无法证明的真实事实【true fact】。
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