【高等数学】张量积、楔积、叉积和外积的区别

5.20

#18 张量积、楔积、叉积和外积的区别

以上三者都可以称之为“外积（outer product）”，但是其实三者是有区别的，所以我最近在学习微积分的时候，时常被误导，今天查阅了一些资料，简单记录一下。

* 是指矩阵的乘法

张量积（tensor product）：输入是两个向量，输出是一个矩阵，记为“⊗\otimes⊗”，更多被称为“张量积”。比如两个列向量u，v，u⊗v=u∗vTu \otimes v = u * v^Tu⊗v=u∗vT
楔积（exterior product）：输入是两个向量，输出是一个另外一个维度的向量（涉及到外代数的知识，一种更高层次的抽象），记为“∧\wedge∧”。

比如u=ai⃗,v=bj⃗,u∧v=abi⃗∧j⃗,i⃗∧j⃗u = a\vec i, v = b \vec j, u \wedge v = ab \quad \vec i \wedge \vec j , \vec i \wedge \vec ju=ai,v=bj,u∧v=abi∧j,i∧j是一种到另一个维度的映射，在三维欧式空间里面，可以将其映射到z轴，这就是其实就是下面要说的叉积。
叉积（cross product）:输入是两个向量，输出是一个向量，记为“×\times×”。比如两个向量u=u1i+u2j+u3k，v=v1i+v2j+v3k\mathbf {u} = u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k}，\mathbf {v} = v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k}u=u1i+u2j+u3k，v=v1i+v2j+v3k

其实叉积其实就是一种外积，只不过外积一种“更一般”的表示方法。

u×v=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k}u×v=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k

向量积：在中文语境当中，向量积就是指叉积。它是相对数量积而言的概念，数量积其实就是一种内积。

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