汉明码（Hamming Code）分析

计算机数据为什么进行校验？

二进制数据进行传送存取环节时，由于存储器的触发器反转、电容电流流失等问题，容易导致存储数据发生变化，这就出现了检错和纠错的问题。

计算机的校验一般用于数据的通信和传递。

奇偶校验

奇偶校验是通过在数据前添加一位校验位来对传输数据进行校验。具体方法是：

偶校验在数据前加校验位（1或0），保证整组数据（校验位和数据位）1的个数为偶数。奇校验则是保证1的个数为奇数。

下面先以偶校验为例来看一下：

假设传输的数据为00101100，显然，数据中1只有三个，采用偶校验添加校验位的话应该添加1（保证1有四个）。那么生成的校验码就是100101100。

计算机只有一位出错的概率很大，一般默认出错位数就是一位

在此前提下，有了这个校验码之后，再进行数据传输，我们接受到的校验码应当是100101100，有偶数个1。一旦传输过程数据发生错误（要么0变为1，要么1变为0）。当我们接收数据时，就会发现1的个数为奇数个，显然数据发生了改变，这也就完成了检错过程。

但是我们无法确定出错的到底是哪一位，接下来我们采用分组的方式添加校验位。

还是以00101100这组数据为例，我们采用划分的方式进行分组，将0010分为一组，1100分为另一组，分别添加校验位：10010、01100。那么校验码就变成了1001001100。一旦数据改变，我们就可以通过第一组1的个数是否为偶数和第二组1的个数是否为偶数来确定出错位置是在第一组还是第二组。

以此为基础，下面我们来看一下汉明码。

汉明码（Hamming Code）

汉明码（Hamming Code）是计算机校验中应用比较广泛的一种校验码。

汉明码是如何检错的？

首先我们先举个例子（1010101）.

位置： 1 2 3 4 5 6 7
数据： 1 0 1 0 1 0 1

采用一种非划分的方式进行分组：

p1组：1 3 5 7
p2组：2 3 6 7
p3组：4 5 6 7
用1来表示出错，那么：

p3 p2 p1

0        0       0
都没错
0        0       1
p1出错，p2，p3没错，由于3、5、7都在p2和p3中，只能是1出错。
0       1       1
p2，p1出错，p3没错，由于p2，p1中共有的为3和7，而7存在于p1，没出错，所以只能是3出错
1       1       1
p1,p2,p3共有的只有7，所以是7出错。

观察发现，按照组从大到下排列下来的二进制数转化为10进制数正好对应了出错位置，比如上面的数据：
000-------0，没出错
001-------1，1出错
011-------3，3出错
111-------7，7出错

通过这种分组方式就可以确定究竟是哪一位出错，完成了检错过程，而二进制数只能是0或1，只需将出错位变为1就可完成纠错过程。

汉明码是如何分组的？

规定用以下方式分组：
将1234567…n每个位置转化为二进制数。
满足以下形式：
p1（第一组）：xxxx1          1，3，5，7…
p2（第二组）：xxx1x          2，3，6，7…
p3（第三组）：xx1xx          4，5，6，7…
以此类推。

汉明码校验位的位置？

规定以2的n次方为汉明码校验位（n=0,1,2,3…）
校验位出错不需纠错，因为需要的只是数据位

如何写出汉明码？

首先要确定汉明码有多少位，根据给定的数据，可利用公式：
2^k >= n+k+1.
n表示信息位，k表示校验位。
每一组都有错或不错两种状态，k个校验位表示了有k组，检验结果要指出n+k位哪一位错，而还有一种是没有错的状态。
利用该公式和给出的数据即可确定汉明码的位数。
也可不用汉明码直接写，把2的k次方的校验位单独留出来，其余位置添加对应数据即可。
例如
1011，采用偶校验
由于1 2 4是校验位，先将其空出来，然后顺序填入数据
1    2    3    4    5    6    7
            1          0    1    1
0    1          0
(p1：1，3，5，7    两个1    添0
p2：2，3，6，7    三个1    添1
p3：4，5，6，7    两个1   添0)
由此得出汉明码为0110011

如何确定汉明码出错位置

根据所得汉明码（假设通过偶校验方式），传输之后，若发生数据的改变（一位），先求出每一组是否出现错误数据，再从大到小，根据前面的例子，对应写出二进制，转化为10进制就是出错的位置。也可直接根据每组的重合部分和对错进行分析，找到错误位置。
比如上述汉明码，经过数据传输后由0110011变为0110111.
分析：
p1:1 3 5 7对应0 1 1 1 显然1的个数不是偶数个，出错，为1.
p2:2 3 6 7对应1 1 1 1 显然1的个数是偶数个，没出错，为0，
p3:4 5 6 7对应0 1 1 1 显然1的个数不是偶数个，出错，为1。
那么就可以得出：
p3 p2 p1
1 0 1
转化为10进制数为5.
即第五位出错。由于第五位不是校验位，将第五位的1变为0，即可得到正确的码0110011.
从而得到读取的正确数据1011。

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