斐波那契数列 问题分析及运用（兔子繁殖问题）
Fibonacci 定义
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。具体是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……可以定义为以下关系：
当n>1时，这个数列第n项的值是前两项之和
实现 Fibonacci 代码
由 Fibonacci 定义可得数列可递归地计算如下：
int fibonacci (int n) {if (n <= 1) return 1;return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
之前 “函数的递归与迭代” 中提到用递归方法实现斐波那契数列效率十分低，见链接：https://blog.csdn.net/qq_44759710/article/details/99686359.
为此我们可以使用迭代法，用循环实现：
int fib(int n) {int result;int result1;int result2;result = result1 = 1;while (n > 2){n--;result2 = result1;result1 = result;result = result1 + result2;}return result;
}
求 Fibonacci 通项公式
由定义可推导出通项公式：
方法1：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）
设常数 r , s ,使得
F( n ) - r * F(n - 1) = s * [F(n - 1) - r * F(n - 2)]
则有 r + s = 1，- r * s = 1
当 n >= 3时，有
联立以上 n - 2 个式子可得：
可化简且进一步转换为：
（显然这是一个以 s^(n - 1) 为首项，以r^(n - 1)为末项，r / s 为公比的等比数列的各项的和）
则
方法2：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）
方法3：母函数法
此处只详细解释方法一
Fibonacci 的运用
从上述通项公式，我们可以找到很熟悉的数字
r = - ([5 ^ (1 / 2) - 1] / 2 近似等于0.618
找出几个数据，求出前一项与后一项的比值：
1÷1=1
1÷2=0.5
2÷3=0.666
3÷5=0.6
5÷8=0.625
……
144÷233=0.618025
……
46368÷75025=0.6180339886
……
容易得出比值越来越接近0.618，即黄金比
这个关系可容易证得：
F(n) + F(n + 1) = F(n + 2)
两边同时除以 F(n + 1)，可得：
F(n) / F(n + 1) + 1 = F(n + 2) / F(n + 1)
设lim [F(n) / F(n + 1)] = lim [F(n + 1) / F(n + 2)] = x
即有 x + 1 = 1 / x
易得 x = [5 ^ (1 / 2) - 1] / 2 = 0.618
斐波那契数亦是经常出现在我们的生活中：
例一：
如图，将数列关系转为正方形边长问题，可得出以上具有美感的图片和海螺的纹路类似，自然界中常见的松果、向日葵等的花瓣、果实排列都可以找到类似的规律
例二：
求矩形面积：
如图，矩形的长宽变化为斐波那契数列，可以得：
正方形面积之和可以转换成求矩形的面积
例三：关于斐波那契数列对于数的整除
每2个连续的数中有且只有一个被2整除，
每3个连续的数中有且只有一个被3整除，
每4个连续的数中有且只有一个被5整除，
每5个连续的数中有且只有一个被8整除，
……
每n个连续的数中有且只有一个被F(n)整除
例四：兔子问题
被称为兔子数列的斐波那契数列，解决的是一个关于兔子繁殖的问题：
“……兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？”
经过对题目的分析，可以得到兔子的繁殖情况：
| 经过月数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 幼仔对数 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
| 成兔对数 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
| 总体对数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
由上表可以得出以下代码来求得兔子在一段时间后的对数：
int rabbit(int month) {int num;int num1;int num2;num = num1 = 1;while (month > 2){month--;num2 = num1;num1 = num;num = num1 + num2;}return num;
}
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