3D仿真学习笔记（七）-- 五轴精密数控机床坐标系设定
上图为一五轴精密数控机床结构示意图。 轴、
轴相互连接固定在Y轴拖板上，
、
轴拖板相互垂直，工件安装在
轴上，传感器安装在主轴上。下图为精密数控机床拓扑结构。
1 五轴精密数控机床坐标系设定
建立机床坐标系，基于多体理论推导机床误差综合数学模型，为计算传感器和工件之间的误差和为精密数控机床建模方便，所有机床坐标系都采用右手笛卡尔坐标系。五轴精密数控机床分为两条运动链：
工件链：在床身上建立参考坐标系 0；在 轴拖板上建立坐标系 1 为低序体 1；在
轴转台上建立坐标系 2 为低序体 2；在
轴转台上建立坐标系 3 为低序体 3；在工件上建立坐标系 4 为低序体 4。
传感器链：在 轴拖板上建立坐标系 5 为低序体 5；在
轴拖板上建立坐标系 6 作为低序体 6；在主轴上建立坐标系 7 作为低序体 7；在传感器上建立坐标系 8 为低序体 8。
在建模过程中，规定机床误差变换矩阵的方向从工件坐标系变换到道具坐标系，而误差因素则主要有转角误差、垂直度误差以及移动误差，在实际测量的过程中如果出现了测量结果与规定相反，则以负值进行赋值并进行综合计算。
2 误差运动转换矩阵
（1）理想（无误差）状态下相邻体间的转换矩阵
在理想情况下，设 、
、
拖板分别移动距离
、
、
，设旋转轴
轴和
轴分别转动
、
的角度。
工件链：从 轴拖板坐标系 1 到参考坐标系 0 的齐次变换矩阵为
，从 B 轴坐标系 2 到
轴拖板坐标系 1 的齐次变换矩阵为
，从
轴坐标系 3 到
轴坐标系 2 的变换矩阵可用
，从工件坐标系 4 到
轴坐标系 3 的变换矩阵可用
，理想状况下工件与
轴无相对转动，因此工件坐标系 4 到
轴坐标系 3 的齐次变换为单位矩阵，即
。上述工件链的齐次变换矩阵可写作：
传感器链：床身坐标系 0 到 轴坐标系 5 的齐次坐标变换矩阵可用
表示，
轴坐标系 5 到
轴坐标系 6 的齐次变换矩阵可以用
来表示。理想状态下
轴、主轴之间是相对静止的，因此
轴坐标系到主轴坐标系 7 的齐次坐标变换矩阵为单位矩阵，即
，主轴与传感器之间采用固定连接，所以主轴坐标系 7 到传感器坐标系 8 的齐次变换矩阵为单位矩阵，即
。上述传感器链的齐次变换矩阵可以写作：
在理想情况下，工件坐标系到传感器坐标系的齐次变换矩阵为：
（2）实际状态（有误差）状态下相邻体间的转换矩阵与误差简化
依据相邻典型体间的运动学误差分析，对五轴精密数控机床误差元素进行分类，由表3.1、表3.2、表3.3可知五轴精密数控机床的几何误差、热误差和里误差有126项。依据运动副在同一自由度各误差可进行线性叠加，可以把五轴精密数控机床误差元素简化合并为42项。
在实际情况下，拖板 移动距离
时存在 3 个移动（几何）误差
、
、
，3 项转角（几何）误差
、
、
，3 项热漂移误差
、
、
；3 项力误差
、
、
，为简化模型计算量，这里我们把 3 种位置误差简化合称为一个表达式，分别记作：
、
、
。依据坐标变换、小误差假设理论，
轴到参考坐标系的变换矩阵为：
转轴 旋转
角度时存在 3 个移动（几何）误差
、
、
，2 项平行度误差
、
，3 项转角（几何）误差
、
、
，3 项热漂移误差
、
、
，3 项力漂移误差
、
、
，为简化模型计算量，这里我们将 3 种位置误差简化合成为一个表达式为
、
、
。同上转轴
坐标系到
轴拖板坐标系的误差变换矩阵为：
转轴 旋转
角度时存在 3 个移动（几何）误差
、
、
，2 项平行度误差
、
，3 项转角（几何）误差
、
、
，3 项热漂移误差
、
、
，3 项力漂移误差
、
、
，为简化模型计算量，这里我们将 3 种位置误差简化合称为一个表达式
、
、
。同上旋转轴
到旋转轴
坐标系的误差变换矩阵为：
工作台 移动距离
时存在 3 项移动（几何）误差
、
、
，3 项转角（几何）误差
、
、
，1 项垂直度误差
，3 项热漂移误差
、
、
；3 项力误差
、
、
，同理为简化模型计算量，我们把三种位置误差简化合成为一个表达式
、
、
，机床参考坐标系到
轴拖板的误差变换矩阵为：
工作台 移动距离
时存在 3 项移动（几何）误差
、
、
，3 项转角（几何）误差
、
、
，2 项垂直度误差
、
，3 项热漂移误差
、
、
，3 项力误差
、
、
，同理为简化模型计算量，这里我们把三种位置误差简化合成为一个表达式为
、
、
，坐标系
到坐标系
的误差变换矩阵为：
在实际情况下，机床主轴制造精度远高于其它运动轴，故在综合误差建模中可以不考虑主轴的几何误差，仅考虑主轴的热误差和力误差。主轴运转时存在 5 项热误差元素，、
2 个方向上的直线度移动误差
、
，
方向上的定位误差
，绕
、
轴的转角误差
、
。机床主轴运转时存在 5 项力误差元素，
、
2 个方向上的直线度移动误差
、
，
方向上的定位误差
，绕
、
轴的转角误差
、
；这里我们将位置误差、角度误差分别简化合成为一个表达式
、
、
、
、
，可得
轴坐标系到主轴坐标系的误差变换矩阵为：
在实际情况下，当机床分别沿 、
、
方向平移
、
、
距离时，转轴
、
分别转动
、
角度时，工件坐标系到刀具坐标系的变换矩阵为：
在实际状态下，由前向的分析可知，坐标系 4 到坐标系 8 的误差变换矩阵 为：
基于小误差假设，误差运动变换矩阵 可假设为：
式中 、
、
为刀具实际位移点相对理想位移点的移动误差。
、
、
为刀具实际位置相对理想位置的转角误差。
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