2 解析函数
- 2.1 复变函数
- 2.2 解析函数
- 2.3 解析函数的充分必要条件
- 2.4 解析函数与调和函数的关系
- 2.5 初等解析函数

2 解析函数

2.1 复变函数

复变函数的定义：

设 D D D 是复平面中的一个点集，对于 D D D 中的每一个 z z z ，按照一定的规律，有一个或多个 w w w 的值与之对应，则称 w w w 为定义在 D D D 上的复变函数，记作： w = f ( z ) w = f(z) w=f(z) 。

代数形式：
w = f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) w= f(z) = f(x + iy) = u(x,\,y) + iv(x,\, y) w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
指数形式：
w = u ( r c o s θ , r s i n θ ) + i v ( r c o s θ , r s i n θ ) = P ( r , θ ) + i Q ( r , θ ) w=u(r\,{\rm cos}\,\theta,\,r\,{\rm sin}\,\theta)+iv(r\,{\rm cos}\,\theta,\,r\,{\rm sin}\,\theta)=P(r,\,\theta)+iQ(r,\,\theta) w=u(rcosθ,rsinθ)+iv(rcosθ,rsinθ)=P(r,θ)+iQ(r,θ)
极限的定义：

设函数 w = f ( z ) w = f(z) w=f(z) 定义在 z 0 z_0 z0 的去心邻域 D = { z ; 0 < ∣ z − z 0 ∣ < ρ } D=\{z;0 < |z − z_0| < \rho\} D={z;0<∣z−z0∣<ρ} 内。如过存在一确定的数 A A A ，对于任意的 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0 ，存在正数 δ ( ϵ ) ∈ ( 0 , ρ ] \delta(\epsilon)\in(0,\,\rho] δ(ϵ)∈(0,ρ] ，使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0 < |z − z_0| < \delta 0<∣z−z0∣<δ 时，
∣ f ( z ) − A ∣ < ϵ |f(z) − A| < \epsilon ∣f(z)−A∣<ϵ
则称 A A A 为 f ( z ) f(z) f(z) 当 z z z 趋向于 z 0 z_0 z0 时的极限，记作
lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim_{z\to z_0} f(z) = A z→z0limf(z)=A

极限的几何意义：当 z → z 0 z\to z_0 z→z0 时极限的存在性，要求 z z z 在 z 0 z_0 z0 的 δ \delta δ 去心邻域中沿任何路径趋近于 z 0 z_0 z0 ， f ( z ) f(z) f(z) 均以 A A A 为极限。

连续的定义：

设函数 w = f ( z ) w = f(z) w=f(z) 在区域 D D D 中由定义， z 0 ∈ D z_0\in D z0∈D ，若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \displaystyle\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0) z→z0limf(z)=f(z0) ，则 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 处连续。若 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处连续，则 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内连续。

函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z) = u(x,\, y) + iv(x,\, y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 z 0 = x 0 + i y 0 z_0 = x_0 + iy_0 z0=x0+iy0 处连续的充要条件是 u ( x , y ) u(x,\, y) u(x,y) 和 v ( x , y ) v(x,\, y) v(x,y) 在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,\, y_0) (x0,y0) 处连续。

定理：当 f ( z ) f(z) f(z) 在有界闭区域 D ‾ \overline{D} D 上连续时，它的模 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 在 D ‾ \overline{D} D 上也连续、有界且可以取到最大值与最小值。即存在常数 M > 0 M>0 M>0 ，使 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M ( z ∈ D ‾ ) |f(z)|\leq M\ \ (z\in\overline{D}) ∣f(z)∣≤M (z∈D) 。

注意：如果把条件 f ( z ) f(z) f(z) 在闭区域 D ‾ \overline{D} D 上的连续改为在 D D D 内的连续时，则 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 不一定有界。
反例： f ( z ) = 1 z − 1 f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-1} f(z)=z−11 在单位圆内连续但无界。
有界闭区域 D D D 上的连续函数必一致连续。

2.2 解析函数

导数的定义：

设区域 D D D 是函数 w = f ( z ) w = f(z) w=f(z) 的定义域， z 0 ∈ D z_0 \in D z0∈D ， z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z \in D z0+Δz∈D 。若如下极限存在，
lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz→0limΔzΔw=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0)
则称 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 点可导（可微），这个极限称为 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 点的导数 f ′ ( z 0 ) f'(z_0) f′(z0)，它是一个复数。

可导 ⟹ \boldsymbol\Longrightarrow ⟹ 连续，反之不然。
如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处可导，则称 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内可导。

解析函数的定义：

如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在点 z 0 z_0 z0 的某个邻域内的每一点可导，则称 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 点解析（正则）。

z 0 z_0 z0 称为解析点；不解析的点称为奇点。
函数 f ( z ) f(z) f(z) 在一点解析 ⟹ \boldsymbol\Longrightarrow ⟹ 函数 f ( z ) f(z) f(z) 在该点可导，反之不一定成立。

如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内每一点解析，则称 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析。

由于 D D D 是开集，所以 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析 ⟺ \boldsymbol{\iff} ⟺ f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内处处可导。
在整个复平面 C \mathbb{C} C 上解析的函数称为整函数。

解析函数的性质：

(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数。

(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数。

解析函数的求导链式法则：设 ξ = g ( z ) \xi=g(z) ξ=g(z) 在区域 D D D 内解析， w = f ( ξ ) w=f(\xi) w=f(ξ) 在区域 G G G 内解析，且 g ( D ) ⊆ G g(D)\subseteq G g(D)⊆G ，则 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] 确定了一个 D D D 上的解析函数，且

d d z f [ g ( z ) ] = f ′ [ g ( z ) ] ⋅ g ′ ( z ) \frac{\rm d}{{\rm d}z}f[g(z)]=f'[g(z)]\cdot g'(z) dzdf[g(z)]=f′[g(z)]⋅g′(z)

(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

2.3 解析函数的充分必要条件

定理 1：函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域 D D D 内解析的充分必要条件是 u ( x , y ) u(x,\,y) u(x,y) 和 v ( x , y ) v(x,\,y) v(x,y) 在区域 D D D 内可微，且满足 Cauchy-Riemann 方程，或称之为 C-R 条件：
{ ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y} \\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x} \end{array} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧∂x∂u=∂y∂v∂y∂u=−∂x∂v
此时，
f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y f'(z)=\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+i\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}-i\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} f′(z)=∂x∂u+i∂x∂v=∂y∂v−i∂y∂u
定理 2：函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域 D D D 内一点 ( x , y ) (x,\,y) (x,y) 处解析的充分必要条件是：

偏导数 u x , u y , v x , v y u_x,\ u_y,\ v_x,\ v_y ux, uy, vx, vy 在点 ( x , y ) (x,\,y) (x,y) 处存在；
u ( x , y ) u(x,\,y) u(x,y) 和 v ( x , y ) v(x,\,y) v(x,y) 在点 ( x , y ) (x,\,y) (x,y) 处满足 C-R 条件。

推论：解析函数退化为常数的几个充分条件：

函数在区域内解析且导数恒为零；
解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一恒为常数；
解析函数的共轭在区域内解析。

2.4 解析函数与调和函数的关系

如果函数 f ( z ) = u + i v f(z)=u+iv f(z)=u+iv 在区域 D D D 内解析，则它的实部 u u u 和虚部 v v v 在 D D D 内任意一点 ( x , y ) (x,\,y) (x,y) 处一定是任意阶可微的，且 u u u 和 v v v 满足 C-R 条件。若将 C-R 方程的第一式两边对 x x x 求偏导数，第二式两边对 y y y 求偏导数，则有
∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x , ∂ 2 v ∂ x ∂ y = − ∂ 2 u ∂ y 2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2v}{\partial y \partial x}\ \ , \ \ \ \ \frac{\partial^2v}{\partial x \partial y}=-\frac{\partial^2u}{\partial y^2} ∂x2∂2u=∂y∂x∂2v , ∂x∂y∂2v=−∂y2∂2u
由于
∂ 2 v ∂ y ∂ x = ∂ 2 v ∂ x ∂ y \frac{\partial^2v}{\partial y \partial x}= \frac{\partial^2v}{\partial x \partial y} ∂y∂x∂2v=∂x∂y∂2v
所以
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
同理可得
∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2v+∂y2∂2v=0
在实分析中，若二元函数 U ( x , y ) U(x,\,y) U(x,y) 在平面区域 D D D 中具有二阶连续偏导数且满足方程
∂ 2 U ∂ x 2 + ∂ 2 U ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2U}{\partial y^2}=0 ∂x2∂2U+∂y2∂2U=0
则称 U ( x , y ) U(x,\,y) U(x,y) 为区域 D D D 内的调和函数。该方程被称为调和方程或拉普拉斯方程，简记为
Δ U = U x x + U y y = 0 \Delta U=U_{xx}+U_{yy}=0 ΔU=Uxx+Uyy=0
若 u u u 与 v v v 是区域 D D D 内的调和函数且满足 C-R 条件，则称 v \boldsymbol{v} v 为 u \boldsymbol{u} u 的共轭调和函数。

注意：不是“互为”共轭调和函数。

定理 1： f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域 D D D 内的解析函数 ⟹ \boldsymbol\Longrightarrow ⟹ u u u 和 v v v 是区域 D D D 内的调和函数，反之不一定成立。

反例： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + 2 x y i f(z)=z^2=x^2-y^2+2xyi f(z)=z2=x2−y2+2xyi 是解析函数，但 f ( z ) = 2 x y + i ( x 2 + y 2 ) f(z)=2xy+i(x^2+y^2) f(z)=2xy+i(x2+y2) 并不解析。

定理 2： f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域 D D D 内的解析函数 ⟺ \boldsymbol{\iff} ⟺ v v v 为 u u u 的共轭调和函数。

根据以上定理，如果已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。

2.5 初等解析函数

(1) 指数函数

定义：
e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) e^{x+iy}=e^x(\cos{y}+i\sin{y}) ex+iy=ex(cosy+isiny)

∣ e z ∣ = e x , A r g e z = y + 2 k π |e^z|=e^x\ \ , \ \ \ \ {\rm Arg}\,e^z=y+2k\pi ∣ez∣=ex , Argez=y+2kπ

性质：

e z e^z ez 定义在全平面上，且 e z ≠ 0 e^z\neq0 ez=0
e z e^z ez 在全平面上解析，且 ( e z ) ′ = e z (e^z)'=e^z (ez)′=ez
e z ⋅ e w = e z + w e^z\cdot e^w=e^{z+w} ez⋅ew=ez+w 对任意的 z , w ∈ C z,\,w\in\mathbb{C} z,w∈C 成立
e z e^z ez 是周期函数，周期 T = 2 n π i T=2n\pi i T=2nπi （ n n n 为整数， n ≠ 0 n\neq0 n=0 ），基本周期为 2 π i 2\pi i 2πi 。

(2) 三角函数

定义：
sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sinz=2ieiz−e−iz

cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} cosz=2eiz+e−iz

性质：

欧拉公式：

e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z e^{iz}=\cos z+i\,\sin z eiz=cosz+isinz

全平面解析，且有

( sin ⁡ z ) ′ = cos ⁡ z , ( cos ⁡ z ) ′ = − sin ⁡ z (\sin z)'=\cos z \ \ , \ \ \ \ (\cos z)'=-\sin z (sinz)′=cosz , (cosz)′=−sinz

除半角公式外，其余各种三角恒等式仍然成立。
sin ⁡ z \sin z sinz 为奇函数， cos ⁡ z \cos z cosz 为偶函数。
sin ⁡ z , cos ⁡ z \sin z\,,\,\cos z sinz,cosz 是以 2 π 2\pi 2π 为周期的周期函数。
∣ sin ⁡ z ∣ , ∣ cos ⁡ z ∣ |\sin z|\,,\,|\cos z| ∣sinz∣,∣cosz∣ 不是有界函数，模可以大于 1 1 1 以至任意大。

(3) 双曲函数

定义：
s h z = e z − e − z 2 {\rm sh}\,z=\frac{e^z-e^{-z}}{2} shz=2ez−e−z

c h z = e z + e − z 2 {\rm ch}\,z=\frac{e^z+e^{-z}}{2} chz=2ez+e−z

双曲函数恒等式：
c h 2 z − s h 2 z = 1 {\rm ch}^2z-{\rm sh}^2z=1 ch2z−sh2z=1

s h z + c h z = e z {\rm sh}\,z+{\rm ch}\,z=e^z shz+chz=ez

s h ( z 1 + z 2 ) = s h z 1 c h z 2 + c h z 1 s h z 2 {\rm sh}(z_1+z_2)={\rm sh}\,z_1\,{\rm ch}\,z_2+{\rm ch}\,z_1\,{\rm sh}z_2 sh(z1+z2)=shz1chz2+chz1shz2

c h ( z 1 + z 2 ) = c h z 1 c h z 2 + s h z 1 s h z 2 {\rm ch}(z_1+z_2)={\rm ch}\,z_1\,{\rm ch}\,z_2+{\rm sh}\,z_1\,{\rm sh}z_2 ch(z1+z2)=chz1chz2+shz1shz2

三角函数与双曲函数之间：
cos ⁡ ( i z ) = c h z , sin ⁡ ( i z ) = i s h z \cos(iz)={\rm ch}\,z \ \ , \ \ \ \ \sin(iz)=i\,{\rm sh}\,z cos(iz)=chz , sin(iz)=ishz

c h ( i z ) = cos ⁡ z , s h ( i z ) = i sin ⁡ z {\rm ch}(iz)=\cos\,z \ \ , \ \ \ \ {\rm sh}(iz)=i\,\sin z ch(iz)=cosz , sh(iz)=isinz

性质：

全平面解析，且有

( s h z ) ′ = c h z , ( c h z ) ′ = s h z ({\rm sh}\,z)'={\rm ch}\,z \ \ , \ \ \ \ ({\rm ch}\,z)'={\rm sh}\,z (shz)′=chz , (chz)′=shz

s h z {\rm sh}\,z shz 为奇函数， c h z {\rm ch}\,z chz 为偶函数。
s h z , c h z {\rm sh}\,z\,,\,{\rm ch}\,z shz,chz 是以 2 π i 2\pi i 2πi 为周期的周期函数。

(4) 对数函数

对于复指数函数，其定义域为 C \mathbb{C} C ，值域为 C \ { 0 } \mathbb{C}\backslash\{0\} C\{0} 。由于复指数函数是周期函数，不存在单值反函数，所以无法定义单值对数函数，因此我们需要将对数函数限制在 C \mathbb{C} C 的某些子集上。

定义：

满足方程 e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z \ \ (z\neq0) ew=z (z=0) 的函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 称为 z z z 的对数函数，记
w = L n z ( z ≠ 0 ) w={\rm Ln}\,z \ \ (z\neq0) w=Lnz (z=0)
设 w = u + i v w=u+iv w=u+iv ， z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ ，则有 e u + i v = e u e i v = r e i θ e^{u+iv}=e^ue^{iv}=re^{i\theta} eu+iv=eueiv=reiθ

从而
{ e u = r ⟹ u = ln ⁡ r = ln ⁡ ∣ z ∣ v = A r g z = θ + 2 k π \left\{ \begin{array}{l} e^u=r \ \ \ \ \boldsymbol\Longrightarrow \ \ \ \ u=\ln r = \ln |z| \\ v={\rm Arg}\,z=\theta+2k\pi \end{array} \right. {eu=r ⟹ u=lnr=ln∣z∣v=Argz=θ+2kπ
所以
w = L n z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i A r g z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π ) w={\rm Ln}\,z=\ln|z|+i\,{\rm Arg}\,z=\ln|z|+i({\rm arg}\,z+2k\pi) w=Lnz=ln∣z∣+iArgz=ln∣z∣+i(argz+2kπ)
由于 A r g z {\rm Arg}\,z Argz 是多值函数，所以 L n z {\rm Ln}\,z Lnz 是多值函数，需要进行单值化处理。
ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i a r g z \ln z=\ln |z|+i\,{\rm arg}\,z lnz=ln∣z∣+iargz

L n z = ln ⁡ z + i 2 k π {\rm Ln}\,z =\ln z+i2k\pi Lnz=lnz+i2kπ

ln ⁡ z \ln z lnz 是复平面上 C \ { 0 } \mathbb{C}\backslash\{0\} C\{0} 到带域 { u + i v ∣ u ∈ R , − π < v < π } \left\{u+iv|u\in\mathbb{R},\ -\pi<v<\pi \right\} {u+iv∣u∈R, −π<v<π} 的映射，将 ln ⁡ z \ln z lnz 称为对数函数的主值支。

性质：

L n z {\rm Ln}\,z Lnz 的定义域为 { z : 0 < ∣ z ∣ < + ∞ } \{z:0<|z|<+\infty\} {z:0<∣z∣<+∞} 。
L n z {\rm Ln}\,z Lnz 为无穷多值函数，每两个值相差 2 π i 2\pi i 2πi 的整数倍。
除去原点与负实轴， ln ⁡ z \ln z lnz 在复平面内处处解析： ( ln ⁡ z ) ′ = ( L n z ) ′ = 1 z (\ln z)'=({\rm Ln}\,z)'=\displaystyle\frac{1}{z} (lnz)′=(Lnz)′=z1 。

在实分析中，负数不存在对数。在复分析中，负数的对数是有意义的，它是多值的。
L n ( − 1 ) = ln ⁡ ∣ − 1 ∣ + i a r g ( − 1 ) + i 2 k π = ( 2 k + 1 ) π i {\rm Ln}(-1)=\ln|-1|+i\,{\rm arg}(-1)+i2k\pi=(2k+1)\pi i Ln(−1)=ln∣−1∣+iarg(−1)+i2kπ=(2k+1)πi

(5) 幂函数

定义：

设 z z z 为不等于零的复变量，定义 w = z μ = e μ L n z w=z^\mu=e^{\mu\,{\rm Ln}\,z} w=zμ=eμLnz 是主值为 e μ ln ⁡ z e^{\mu\ln z} eμlnz 的多值函数。
w = z μ = e μ L n z = e μ [ ln ⁡ z + i 2 k π ] = e μ ln ⁡ z ⋅ e 2 k μ π i w=z^\mu=e^{\mu\,{\rm Ln}\,z}=e^{\mu[\ln z+i2k\pi]}=e^{\mu\ln z}\cdot e^{2k\mu\pi i} w=zμ=eμLnz=eμ[lnz+i2kπ]=eμlnz⋅e2kμπi
性质：

当 μ \mu μ 为整数 n n n 时， w = z μ w=z^\mu w=zμ 为单值函数：
w = z n = e n ln ⁡ ∣ z ∣ ⋅ e i n a r g z ⋅ e 2 k n π i = ∣ z ∣ n e i n a r g z w=z^n=e^{n\ln |z|}\cdot e^{i\,n\,{\rm arg}\,z}\cdot e^{2kn\pi i}=|z|^n e^{i\,n\,{\rm arg}\,z} w=zn=enln∣z∣⋅einargz⋅e2knπi=∣z∣neinargz
当 μ \mu μ 为分数 1 n \displaystyle\frac{1}{n} n1 时， w = z μ w=z^\mu w=zμ 为 n n n 值函数：
w = z 1 n = ∣ z ∣ 1 n e x p ( i a r g z + 2 k π n ) w=z^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}exp(i\frac{{\rm arg}\,z+2k\pi}{n}) w=zn1=∣z∣n1exp(inargz+2kπ)
当 μ \mu μ 为有理数 p q \frac{p}{q} qp 时， w = z μ w=z^\mu w=zμ 为 q q q 值函数。

当 μ \mu μ 为无理数与虚部不为零的复数时， w = z μ w=z^\mu w=zμ 为无穷多值函数。

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