7-10 公路村村通 (30 分)

题目描述：

现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。

输入格式:

输入数据包括城镇数目正整数N（≤1000）和候选道路数目M（≤3N）；随后的M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号以及该道路改建的预算成本。为简单起见，城镇从1到N编号。

输出格式:

输出村村通需要的最低成本。如果输入数据不足以保证畅通，则输出−1，表示需要建设更多公路。

输入样例:

结尾无空行

输出样例:

结尾无空行

分析与问题：

1、经典错误代码：

此处偷懒地没有使用并查集，仿照Prim算法中对节点是否在生成树节点集合中的标记方法，直接通过判断权值最小边的两个节点是否都被收录来判断这条边是否会在加入之后形成回路。但是，实际上，这个是错误的！！！

如下图的情况，在边1和2录入生成树中之后，显然边3是可以继续加入的！

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX 65536
class edge {
public:int u;int v;int w;edge(int U, int V, int W) {u = U, w = W; v = V;}
};
vector<edge>edges;//存储边
void down(vector<int>& h, int i,int s) {int l = i * 2 + 1; int r = i * 2 + 2;if (l < s) {int min = l;if (r < s && edges[h[r]].w < edges[h[l]].w)min = r;int tem = h[min];h[min] = h[i];h[i] = tem;down(h, min, s);}
}
void Creat(vector<int>&h, int s) {for (int i = (s - 2) / 2; i >= 0; i--)down(h, i,s);
}
int GetTop(vector<int>& h, int& s) {if (!s)return -1;int ans = h[0];h[0] = h[--s];down(h, 0, s);return ans;
}
int main() {int N; cin >> N;int E; cin >> E; int e = E;vector<int>collected(N + 1, 0);//标记顶点是否已经被收录int u, v, w;vector<int>Heap(E);int size = E;while (e--) {cin >> u >> v >> w;edges.emplace_back(edge(u, v, w));Heap[e] = e;}Creat(Heap, size);int ans = 0;//记录最小生成树的权值之和int edge = 0;//记录边的数目while (edge != N - 1) {int num=GetTop(Heap,size);//找到剩余边集中的最小边if (num != -1) {if (!collected[edges[num].u] || !collected[edges[num].v]) {ans += edges[num].w; edge++;collected[edges[num].u] = 1;collected[edges[num].v] = 1;}//如果该边加入生成树中不会形成环，就加入，否则不加入}//如果剩余边集合中还存在边else break;}if (edge == N - 1)cout << ans;else cout << "-1";
}

2、修改使用并查集之后还是错误的代码

（还是没有发现错误在哪。有待进一步探索）：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class edge {
public:int u;int v;int w;edge(int U, int V, int W) {u = U, w = W; v = V;}
};
vector<edge>edges;
void down(vector<int>& h, int i,int s) {int l = i * 2 + 1; int r = i * 2 + 2;if (l < s) {int min = l;if (r < s && edges[h[r]].w < edges[h[l]].w)min = r;int tem = h[min];h[min] = h[i];h[i] = tem;down(h, min, s);}
}
void Creat(vector<int>&h, int s) {for (int i = (s - 2) / 2; i >= 0; i--)down(h, i,s);
}
int GetTop(vector<int>& h, int& s) {if (!s)return -1;int ans = h[0];h[0] = h[--s];down(h, 0, s);return ans;
}
int find(vector<int>& collect, int i) {if (collect[i] < 0)return i;return  collect[i]=find(collect, collect[i]);
}
bool check(vector<int>&collect,edge e) {int u = e.u; int v = e.v;int r1 = find(collect, u);int r2 = find(collect, v);return r1 == r2;
}
void merge(vector<int>& collect, edge e) {int u = e.u; int v = e.v;int r1 = find(collect, u);int r2 = find(collect, v);if (collect[r1] < collect[r2]) {collect[r1] = collect[r1] + collect[r2];collect[r2] = r1;}else { collect[r2] = collect[r1] + collect[r2];collect[r1] = r2; }
}
int main() {int N; cin >> N;int E; cin >> E; int e = E;vector<int>collected(E, -1);int u, v, w;vector<int>Heap(E);int size = E;while (e--) {cin >> u >> v >> w;edges.emplace_back(edge(u, v, w));Heap[e] = e;}Creat(Heap, size);int ans = 0;int edge = 0;while (edge != N - 1) {int num = GetTop(Heap, size);if (num != -1) {if (!check(collected,edges[num])) {ans += edges[num].w; edge++;merge(collected, edges[num]);}}else break;}if (edge == N - 1)cout << ans;else cout << "-1";
}

3、AC代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
class edge {
public:int u;int v;int w;edge(int U, int V, int W) {u = U, w = W; v = V;}
};
int find(vector<int>& collect, int i) {if (collect[i] < 0)return i;return  collect[i]=find(collect, collect[i]);
}
bool check(vector<int>&collect,edge e) {int u = e.u; int v = e.v;int r1 = find(collect, u);int r2 = find(collect, v);return r1 == r2;
}
void merge(vector<int>& collect, edge e) {int u = e.u; int v = e.v;int r1 = find(collect, u);int r2 = find(collect, v);if (collect[r1] < collect[r2]) {collect[r1] = collect[r1] + collect[r2];collect[r2] = r1;}else { collect[r2] = collect[r1] + collect[r2];collect[r1] = r2; }
}
bool cmp(const edge& a, const edge& b)
{return a.w < b.w;
}
int main() {int N; cin >> N;int E; cin >> E; int e = E;vector<edge>edges;vector<int>collected(E, -1);int u, v, w;vector<int>Heap(E);while (e--) {cin >> u >> v >> w;edges.emplace_back(edge(u, v, w));}int ans = 0;int edge = 0;sort(edges.begin() , edges.end(), cmp);for (int i = 0; i < E; i++) {int num = i;if (!check(collected, edges[num])) {ans += edges[num].w; edge++;merge(collected, edges[num]);}if (edge == N - 1)break;}if (edge == N - 1)cout << ans;else cout << "-1";
}

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