算法设计与分析-递归与卡特兰数

本文的读者应该具有程序设计的基础，且已经编写过一些递归题目的代码。

（一）前言

递归是算法领域最重要的基础算法之一，在后续的动态规划算法、搜索算法中也会经常用到递归思想。

递归算法常用于以下三种场景：
（1）递归定义的数学函数（阶乘、阿克曼函数等）
（2）具有递归特性的数据结构（树，二叉树，堆等）
（3）其他可用递归求解的问题
通常用F函数表示递归，例如F（n）表示一个数据规模为n的递归函数。递归算法的思想就是思考如何用问题规模小于n的递归函数，如F（n-1）、F（n/2）等，设计算法求得F（n）。

和学习其他算法一样，递归思想的培养既要一定量的训练，也要思考。学习者应该先学习并掌握一些和递归密切相关的方法（基础性递归问题，以及递归实现指数枚举，组合、排列等）和数学概念（斐波那契，卡特兰数），再通过训练、思考，总结来逐步掌握递归算法和思想。本文仅从递归的角度，对卡特兰数及其相关问题进行一些基础性介绍。

（二）什么是卡特兰数

卡特兰数（英语：Catalan number），又称卡塔兰数、明安图数，是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名。卡特兰数前几项为（从第0项开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...（编程时尽量用long long类型）

（三）卡特兰数对应的递归问题

在数据结构与算法领域，相当多的问题与卡特兰数相关。典型的有：n元素的出栈序列问题、二叉树的形态问题、凸多边形的三角划分问题（有代码）、括号匹配方案问题等。

（1）n元素出栈序列问题

题目：1,2,3......n个元素按次序依次进栈，请问共有多少种出栈序列方案。例如n=3时，答案是5，出栈序列分别是123,132,213,231,321。

解法：用递归思想，如何将F（n）问题变小？思考最后一个出栈元素，观察发现其值可能是1....n任意一个，假定最后一个出栈元素是i，那么1,2....i-1在i入栈之前一定已经出栈（不然i不会是最后一个），i入栈后，i+1,i+2......n依次入栈。注意：i前面入栈元素的出栈序列与i之后入栈元素的出栈序列没有任何关联和影响，因此：

以i为最后一个元素的出栈序列方案数=前i-1个的方案数 * 后n-i个的方案数。

i可以是1....n任何一个，由此得到计算n个元素出栈序列的递归计算公式（卡特兰公式）：

F(n)=F(0)∗F(n−1)+F(1)∗F(n−2)+F(2)∗F(n−3)+...+F(n−1)∗F(0)

（2）n个点二叉树的形态问题

题目：n个结点的二叉树，有多少种不同的形态？

解法：二叉树分为三部分，树根，左子树，右子树，其中左右子树可以为空。设n个点二叉树形态为F（n），那么拿出一个点作为树根，此时有n-1个点可以分给左右子树，分配方案共有n种：分别是左0右n-1，左1右n-2.........左n-1右0。由于左右子树形态并无关联和影响，因此左子树分配i个结点，右子树分配n-1-i个结点的方案数为F(i)*F(n-1-i)。

总的方案数为： F(n)=F(0)∗F(n−1)+F(1)∗F(n−2)+F(2)∗F(n−3)+...+F(n−1)∗F(0)

OJ题目：11082 完全二叉树的种类，n个叶子结点的完全二叉树，其形态有多少种？(完全二叉树意味着每个分支结点都有2个儿子结点)

解法：n个叶子被分配给左右子树，注意子树不能有0个叶子。因为分配方案为左1右n-1，左2右n-2.........

总方案数为： F(n)=F(1)∗F(n−1)+F(2)∗F(n−2)+F(3)∗F(n−3)+...+F(n−1)∗F(1)

这个公式和上面略有不同，思考把F()函数每一项都减一，实际上这个公式得到的结果是标准卡特兰的F（n-1）算式。

（3）凸多边形的三角划分问题-10343 划分凸多边形

题目：一个正凸N边形，用N-3条互不相交的对角线将正N边形分成N-2个三角形的划分方案数。

解法：给结点进行编号1至N，为了降低问题规模，先将1号和其他点连接（不能连2和N），共有N-3种连接方案，假定1号和结点i进行连线，此时凸N边形被划分成两部分，一边是一个凸i边形（结点1....i），另一个是一个凸N-i边形（结点i+1.....n），这两部分的划分是独立的。因此当结点1和i连线时，划分方案数=F（i）*F（n-i）。

总方案数为： F(n)=F(3)∗F(n−3)+F(4)∗F(n−4)+F(5)∗F(n−5)+...+F(n−3)∗F(3)

这里计算时F(3)=1,三角形就一种划分方案，这个F（3）其实和和标准卡特兰的F（1）一样，F（4）=2，四边形有两种划分方案。因此此题目F（n）相当于标准卡特兰的F（n-2）。

计算卡特兰数时有两个点需要注意，第一，卡特兰上升速度极快，因此尽量用longlong类型存储，第二，递归思想可以，但递归算法效率较差，用递推替换递归，降低复杂度。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{int i,j,n;long long f[25]={0};cin>>n;if(n<3)//不满足多边形划分条件{cout<<"No answer";return 0;}f[0]=f[1]=1;//卡特兰前两项for(i=2;i<=n-2;i++){for(j=0;j<i;j++)f[i]+=f[j]*f[i-j-1];}cout<<f[n-2];//凸多边形问题需要-2return 0;
}

（4）括号匹配问题

题目：由 N个“(”和 N 个“)”组成的字符串，要求左括号和右括号是匹配的。例如“）（（））（”和“（））（（）”都是不匹配的括号串。当N=3时，有以下5种匹配的括号串：

解法：只关注第一个字符左括号，其匹配对象位置只能是偶数项位置（自行思考），那么这个右括号可能放在最后一个字符（2*N位置），倒数第二个偶数位（2*（N-1）），依次2*（N-2）.......，2。和前面几个例子类似，第一个括号和其匹配括号会将序列分割成两段，当第一个左括号与2*i位置右括号匹配时，序列左段长度为2*（i-1），右段长度为2*（n-i），两段分割方案相互独立。

总方案数为： F(2n)=F(0)∗F(2n−2)+F(2)∗F(2n−4)+F(4)∗F(2n−6)+...+F(2n−2)

最后一项为第一个左括号和最后一个右括号匹配，问题转换为F(2n−2)，当然，上述方程实际上就是标注的卡特兰数方案。

括号匹配问题的几个拓展：

11085 买票找零（50元看成左括号，100元看成右括号）

10344 矩阵连乘积的加括号方式数（N个矩阵对应N对括号）

17083 多重幂计数问题（和上题一样）

教材课后习题 2-10 标准二维表问题

上图为转载，原图地址为卡特兰数（Catalan number）（一） - 知乎，有兴趣同学可看，里面还有几个例子。

（四）结语

少说多做,少讲多练~~！