面积二次矩second moment of area 极惯性矩polar moment of area 转动惯量moment of inertia面积一次矩first moment of area

看论文记录一下力学的名词专业术语，后面可以查看。

1.second moment of area——面积二次矩[1][6]
- 回顾弯曲中的弯矩
2.polar moment of area——极惯性矩 [3]
- 回顾扭转中的扭矩
3.moment of inertia——转动惯量 [2][5]
4.first moment of area——面积一次矩 [4]

1.second moment of area——面积二次矩[1][6]

公式
Iz=∫Ay2dAI_{z}=\int_{A}y^{2}\mathrm{d}AIz=∫Ay2dA

下标zzz表示截面对zzz轴进行计算。《材料力学》书中的说法很容易引起混淆，个人认为翻译成惯性矩是不准确的，如果实在要说也要说成面积惯性矩，不过我觉得还是翻译成面积的二次矩比较合适，这样才能可以和真正的惯性矩（转动惯量）进行区分。

材料力学的翻译这个指的是转动惯量

材料力学又说是惯性矩，应该改为面积的二次矩。

回顾弯曲中的弯矩

弯曲变形公式中会用到：

ab变为a’b’，伸长量为

Δl=(ρ+y)dθ−dx=(ρ+y)dθ−ρdθ=ydθ\Delta l=(\rho+y)\mathrm{d}\theta-\mathrm{d}x=(\rho+y)\mathrm{d}\theta-\rho\mathrm{d}\theta=y\mathrm{d}\thetaΔl=(ρ+y)dθ−dx=(ρ+y)dθ−ρdθ=ydθ

应变量
ε=ydθdx=ydθρdθ=yρ\varepsilon={\frac{y\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}}={\frac{y\mathrm{d}\theta}{\rho d\theta}}={\frac{y}{\rho}}ε=dxydθ=ρdθydθ=ρy

y处的正应力为：

σ=Eε=Eyρ\sigma=E\varepsilon={\frac{E y}{\rho}}σ=Eε=ρEy

弯矩（这里用到了面积二次矩）

M=∫AyσdA=Eρ∫Ay2dA=EρIzM=\int_{A}y \sigma\mathrm{d}A=\frac{E }{\rho}\int_{A}y^2\mathrm{d}A=\frac{E }{\rho}I_{z}M=∫AyσdA=ρE∫Ay2dA=ρEIz

2.polar moment of area——极惯性矩 [3]

公式
Ip=∫Aρ2dAI_{p}=\int_{A}\rho^{2}\,\mathrm{d}AIp=∫Aρ2dA

回顾扭转中的扭矩

γρ≈tgγρ=dd′‾ad‾=ρdϕdx\gamma_{_{\rho}}\approx\mathrm{tg}{\gamma}{_{\rho}}={\frac{{\overline{{dd'}}}}{{\overline{{ad}}}}}={\frac{\rho\mathrm{d}{{\phi}}}{\mathrm{d}x}}γρ≈tgγρ=addd′=dxρdϕ

剪切胡克定律，剪应力等于剪切模量乘上剪应变。

τρ=Gρdϕdx\tau_{\rho}=G{\rho}\,{\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}}τρ=Gρdxdϕ

扭矩公式（这里用到了极惯性矩）

T=∫ρτρdA=Gdϕdx∫Aρ2dAT=\int\rho{\tau}_{\rho}{\mathrm{d}}A=G\ {\frac{\mathrm{d}{\boldsymbol{\phi}}}{\mathrm{d}x}}\int_{A}\rho^{2}\mathrm{d}AT=∫ρτρdA=G dxdϕ∫Aρ2dA

可以得到

dϕdx=TGIp{\frac{\mathrm{d}{\boldsymbol{\phi}}}{\mathrm{d}x}}={\frac{T}{G I_{p}}}dxdϕ=GIpT

剪应力和扭矩之间的关系
τρ=TρIp\tau_{\rho}={\frac{T{\rho}}{I_{p}}}τρ=IpTρ

3.moment of inertia——转动惯量 [2][5]

如前所述，moment of inertia如果翻译成惯性矩容易不明所以，我还是习惯叫它转动惯量。

公式
IP=∑imiri2I_{P}=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}IP=i∑miri2
IP=∭Qρ(x,y,z)∥r∥2dVI_{P}=\iiint_{Q}\rho(x,y,z)\|\mathbf{r}\|^{2}\,d VIP=∭Qρ(x,y,z)∥r∥2dV

4.first moment of area——面积一次矩 [4]

公式
Iz=∫AydAI_{z}=\int_{A}y\mathrm{d}AIz=∫AydA