基于Python求解偏微分方程的有限差分法.doc

基于Python求解偏微分方程的有限差分法

(西安石油大学电子工程学院光电油气测井与检测教育部重点实验室， 陕西 西安 710065)

摘 要： 偏微分方程的求解是很多科学技术问题的关键难点。随着计算机性能的不断提高，数值解法能够解复杂的偏微分方程并将计算结果图形化。相对于昂贵的科学计算软件，Python是一种免费的面向对象、动态的程序设计语言。有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观等特点在偏微分方程的求解中得到了广泛的应用。文章对矩形区域的拉普拉斯方程进行数值求解，采用Numpy对有限差分法进行计算，运用Matplotlib绘制等值线，输出迭代次数以及误差。

关键词： 偏微分方程； Python； 数值解法； 有限差分法

中图分类号：TP3 文献标志码：A 文章编号：1006-8228(2016)11-14-03

Python programmed finite difference method for solving partial differential equations

Wang Dengyue， Zhang Hongwei

(Xi'an Shiyou University， Electric Engineering College， Key Laboratory of Photo Electricity Gas and Oil Detecting of Ministry of Education， Xi'an， Shaanxi 710065， China)

Abstract： To solve the partial differential equations (PDE) is a key difficult point in many scientific and technical problems. With the development of computer performance， numeric solution can solve many sophisticated PDE and visualize the numeric results. Rather than the expensive science computing software， Python is a free object-oriented language， dynamic programming language. Finite difference method (FDM) is widely used for its clear， simple and intuitive. Laplace problem in a rectangular area is solved numerically in the article， computed through FDM with the Numpy library， visualized through plotting the contour by the Matplotlib library， and the number of iteration and the error are given.

Key words： partial difference equation； Python； numeric solution； finite difference method

0 引言

在数学中，偏微分方程是包含多变量和它们的偏导数在内的微分方程。偏微分方程通常被用来求解声、热、静态电场、动态电场、流体、弹性力学或者量子力学方面的问题[1]。这些现象能够被模式化的偏微分方程描述，正如一维动态系统通常会用常微分方程描述。为了更深入地理解上述各种现象，求解偏微分方程成为理解以及解释上述现象的关键。

1 Python及相关模块简介

Python是一种面向对象、动态的程序设计语言。具有非常简洁而清晰的语法，适合完成各种高层任务。它既可用来快速开发程序脚本，也可用来开发大规模的软件。随着Numpy，SciPy，Matplotlib等众多程序库的开发，Python同样适合于做科学计算以及绘制高质量的2D和3D图像。与科学计算领域的商业软件Matlab相比，Python是一门通用的程序设计语言，比Matlab所采用的脚本语言的应用更广泛，有更多的程序库的支持。

Numpy是使用Python进行科学计算的基础包：①它的基本类型是N-维阵列对象；②提供了功能强大的函数；③可以提供C/C++与Fortran代码的接口；④强大的线性代数计算，傅里叶变换以及随机数计算[2]。SciPy由一系列