这里写自定义目录标题

1.稳定
- 1.1定义
- 1.2 Lyapunov稳定性定义的几何解释
2. 渐进稳定
- 2.1 定义
- 2.2 几何含义
3. 大范围渐近稳定

如图所示的三个曲面，小球均处于平衡点，考虑其受扰动作用，自平衡点偏离后的系统响应。

平衡点a:受扰动作用使得小球偏离原平衡点，并且使得小球达到另一个平衡点，小球的状态是自由响应且有界。

平衡点b:考虑有摩擦，小球绕原点平衡点将产生衰减振荡，小球的状态是自由响应且有界的，并且将最终返回自由平衡点。

平衡点c:倘若受扰动作用使得小球偏离原平衡点，那么小球不一定能够达到下一个平衡点，那么就称小求的状态是自由响应且无界的。

1.稳定

1.1定义

设系统的初始状态x0x_0x0处在状态空间中，位于以平衡状态xex_exe为球心，半径为δ\deltaδ的闭球域(Spherical Domain)S(δ)S(\delta)S(δ)内,即
∥x0−xe∥≤δ,t≥t0\lVert x_0-x_e \rVert \le \delta ,t\ge t_0 ∥x0−xe∥≤δ,t≥t0
若系统由初始状态x0x_0x0出发的系统自由响应x(t;x(t;x(t;x0x_0x0,,,t0t_0t0)))在t→∞t\rightarrow\inftyt→∞的过程中以平衡状态xex_exe为球心，半径为ε\varepsilonε的闭球域S(ε)S(\varepsilon)S(ε)内，即
∥x(t;x0,t0)−xe∥≤ε,t≥t0\lVert x\left( t;x_0,t_0 \right) -x_e \rVert \le \varepsilon ,t\ge t_0 ∥x(t;x0,t0)−xe∥≤ε,t≥t0
则称该动力学系统的平衡状态xex_exe是Lyapunov意义下稳定的，或者称系统具有Lyapunov意义下的稳定。
一般地，实数δ\deltaδ与ε\varepsilonε有关，通常也和初始时刻t0t_0t0有关。如果δ\deltaδ的大小与t0t_0t0无关，则称xxx是Lyapunov意义下的一致稳定(Uniformly Stable)。对于时变系统，一致稳定比稳定更具有实际意义。对于时不变系统，Lyapunov意义下的稳定与一致稳定等价。

1.2 Lyapunov稳定性定义的几何解释

以上定义意味着：在状态空间中，任意给一个以平衡状态xex_exe为中心的球域S(ε)S(\varepsilon)S(ε)，无论多小，总能够找到一个以原点为中心的球域S(δ)S(\delta)S(δ)，使得任何从S(δ)S(\delta)S(δ)出发的运动轨迹，都不超出S(ε)S(\varepsilon)S(ε)。考虑二维空间，平衡态xex_exe为坐标原点，S(δ)S(\delta)S(δ)和S(ε)S(\varepsilon)S(ε)均为一个圆。
Lyapunov意义下的稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。Lyapunov意义下的稳定性实质上就是工程意义下的临界不稳定。

2. 渐进稳定

2.1 定义

如果平衡状态xex_exe不仅是Lyapunov稳定意义下稳定的，而且从球域S(δ)S(\delta)S(δ)出发的任意解x(t;x(t;x(t;x0x_0x0,,,t0t_0t0)))，当t→∞t\rightarrow\inftyt→∞的时，不仅不会超出球域S(ε)S(\varepsilon)S(ε)，而且最终收敛于平衡状态xex_exe或者其邻域，即有lim⁡t→∞∥x(t;x0,t0)−xe∥→0\underset{t\rightarrow \infty}{\lim}\lVert x\left( t;x_0,t_0 \right) -x_e \rVert \rightarrow 0 t→∞lim∥x(t;x0,t0)−xe∥→0
则称平衡状态xex_exe是渐近稳定的(Asymptotically Stable)。其中球域S(δ)S(\delta)S(δ)被称为平衡状态xe=0x_e=0xe=0的吸引域，表示位于其内的所有状态点都可被吸引到平衡状态xex_exe的邻域。
同样的，如果δ\deltaδ的大小与t0t_0t0无关，则称xxx是Lyapunov意义下的一致稳定(Uniformly Stable)。对于时变系统，一致稳定比稳定更具有实际意义。对于时不变系统，Lyapunov意义下的稳定与一致稳定等价。

2.2 几何含义

渐近稳定首先应该是Lyapunov意义下的稳定。工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，系统往往又回到原来的工作状态，这个状态正是设计系统时所期望的，也正是前面所说的平衡状态。
实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单的确定渐近稳定性并不意味着系统能够正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域，它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间，也就是说，发生吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。

3. 大范围渐近稳定

无论是Lyapunov意义下的稳定、渐近稳定，都属于系统在平衡状态附件一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围xex_exe的小范围内，能找到δ\deltaδ和ε\varepsilonε满足定义中的条件即可。至于从S(δ)S(\delta)S(δ)外出发的运动，却完全可以超出S(ε)S(\varepsilon)S(ε)。因此，若为了满足稳定(渐近稳定)条件，初始状态x0x_0x0有一定的限制，则称系统是小范围稳定(渐近稳定)，也称之为局部稳定(Locally Stable)(或局部渐近稳定)。
如果系统在任意初始条件下的解x(t;x(t;x(t;x0x_0x0,,,t0t_0t0)))，在t→∞t\rightarrow\inftyt→∞的过程中，收敛于平衡态xex_exe或者其邻域，则平衡状态xex_exe不仅是渐近稳定的而且其范围包含整个状态空间，则称xex_exe是大范围渐近稳定或者称全局渐近稳定的平衡状态。
大范围肩颈稳定的必要条件是：状态空间中系统中只有一个平衡状态。例如某系统的状态方程为：
x˙=Ax,∣A∣≠0\dot{x}=Ax,\left| A \right|\ne 0 x˙=Ax,∣A∣=0
可知零状态必然是系统的平衡状态，而若零状态渐近稳定，因为它是唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的，可见，线性系统稳定性与初始条件无关。
从实用观点出发，仅仅判知系统是小范围稳定的，系统不一定能够正常工作，一旦实际存在的干扰，使得系统的初始状态偏离而超出S(δ)S(\delta)S(δ)的范围，就会导致xxx有可能不反回xex_exe。因此，工程上对大范围的渐近稳定更加感兴趣。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为驱动渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对于所有的实际问题，如果能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。对于线性定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引域为有限的定范围的渐近稳定。

参考文献¹

现代控制理论/张莲等编著.-2版.-北京：清华大学出版社，2016 ↩︎

Lyapunov意义下的稳定性定义相关推荐

模意义下的FFT算法
//写在前面单就FFT算法来说的话,下面只给出个人认为比较重要的推导,详细的介绍可参考 FFT算法学习笔记令v[n]是长度为2N的实序列,V[k]表示该实序列的2N点DFT.定义两个长度为N的实序 ...
Codeforces 1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence 矩阵快速幂,原根转化模意义下对数,BSGS
文章目录题意题解对数法转指数线性递推原根与模意义下求对数拔山盖世! 最终步骤 Problem Origin 狠搞了一个多星期,做出来之后仍然一知半解,写个博客重理思路. 题意定义序列fff ...
在单位波长与单位频率意义下的能量密度的转换
在单位波长与单位频率意义下的能量密度的转换一种基于密度函数定义的思路一种基于密度函数定义的思路在黑体辐射的普朗克公式中,描述了在单位频率意义下的辐射能量密度,即: ρν(ν,T)=8πhν3c3 ...
linux下出现重定义,Oracle Online Redefinition在线重定义
在线重定义特性进行数据表Online的结构变动操作.本篇我们从一个较复杂的案例出发,讨论复杂变化情况下如何进行Online Redefinition,以及dbms_redefinition包各个关键方 ...
回车、换行、空格的ASCII码值（不同OS平台下文件换行定义）
回车.换行.空格的ASCII码值(不同OS平台下文件换行定义) 回车,ASCII码13(十六进制:0x0D),"\r" 换行,ASCII码10(十六进制:0x0A),"\ ...
求解斐波那契数列模$p$意义下最短循环节
如题,毕克老师给我们出的noip(NOIplus)模拟赛的$Day1T1$ 首先我们知道斐波那契数列的特征根 \[\phi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] \[\phi_2=\f ...
Newcoder Wannafly13 B Jxy军训（费马小定理、分数在模意义下的值）
链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/80/B 题目描述在文某路学车中学高一新生军训中,Jxc正站在太阳下站着军姿,对于这样的酷热的阳光,Jxc 表示非常不 ...
sap 成本中心下的po_定义成本中心(Cost Center)
一．说明成本中心(Cost Center)是管理会计中的最小职责单位,是每一笔费用的具体接收者.本步操作是定义一个成本中心(Cost Center).在SAP系统中,成本中心责任体系是有层次的树状结 ...
测试特制微型气泵在低温环境下的稳定性
测试特制微型气泵在低温环境下的稳定性背景: 由于产品JKF-3的改进型需要在-20℃到+50℃的环境温度下工作,因此要求内置的微型气泵也能承受高温和低温工作环境.通过与成都气海机电制造有限公司( ...

Lyapunov意义下的稳定性定义