微信红包算法概率比较

前言

面试，或者社会，网络，甚至电视上都会谈到的一个问题，
关于微信红包是否每个人都概率一样的问题，
于是在数学上做了一个证明，并写了个程序验算了公式

提出想法

脑子里第一个想法就是：m1 = rand(0.01, m - 0.01*n)，其中：

rand: 随机函数
m1: 抢到的金额
m: 当前钱包剩余金额
n: 当前还未抢红包的人数

意思就是，每次抢到的钱包金额是保证剩余的人至少能抢包1分钱之后，剩余的金额随机抢一个金额，
相信大多数人的第一反应就是这一个意思，这样是对的吗？

数学来了

从数学角度可以证明，这样是不平均的，证明如下：

定义M为总金额，
第一次抢红包的金额为， m1 = [0.01, M), 平均金额金额为 m1 = M/2
第二次抢红包的金额为，m = M - m1, m2 = [0.01, m), 平均金额为 m2 = (M - m1) / 2 = M/4
同理，
第三次抢红包的金额为，m = M - m1 - m2, m3 = [0.01, m)，平均金额为 m3 = (M - m1 - m2) / 2 = M/8
...
第n次平均金额为 mn = (M - m1 - m2 - ... - mn-1) / 2由上易得：
m1 = M/2 > m2 = M/4,
m2 = M/4 > m3 = M/8
...也可以得 m = M/(2^n),
当n增大时，m减小。可知m是关于n一个单调递减函数。

得出结论，先抢到的期望大于后面的期望值，抢到的红包金额不平均，由此特地写一个程序证明：
100块钱，10个红包，循环了10000次，平均值如下：

上面图标金额单位是分，总额为9995分，丢的5分是因为每次的金额除以10000时，整数丢精度了，没处理，但是所有抢到的总金额是正确的。这个不影响结论，所以忽略误差的5分钱。

可以明显看到测试后的数据满足公式推论，上一次是下一次的2倍。但是最后的几次不满足。原因是因为红包最后一次有一个pick all的操作，即是第10个人，不管剩余多少，都全部是第10个人的。

正确的算法来了

根据参考文章提到的红包算法公式：m1 = rand(0.01, (m/n)*2)，其中，

rand: 随机函数
m1: 抢到的金额
m: 当前钱包剩余金额
n: 当前还未抢红包的人数

简单证明：

第一次抢红包的平均金额是 m1 = M/n,
第二次抢红包的平均金额是 m2 = M/n,
第三次抢红包的平均金额是 m3 = M/n,
...
第n次抢红包的平均金额是 mn = M/n,即：
无论第几次抢红包，抢到的红包的平均值都是M/n.
这才使得红包分部均匀，先抢还是后抢都是一样的期望值。

这个没有写程序了，在该文章中有程序证明：

参考文章：

https://www.zybuluo.com/yulin718/note/93148
https://cloud.tencent.com/developer/article/1699931
https://www.zhihu.com/question/22625187

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