卷积、互相关、自相关

看累了，写篇blog
刚刚在看通信方面的概念，看到了很多关于“相关”的概念。之前学信号的时候接触过，但不是重点内容，so 印象不太深。瞅了瞅信号书，感觉理解了些。

卷积

信号的课程里面主要的是“卷积”。先瞅瞅公式：
F(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτF(t) =f_1(t)*f_2(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)\, d\tau F(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
注意：这里是对 τ\tauτ 进行积分的。

如何理解呢？

先想象两个函数，f1(τ)\ f_1(\tau) f1(τ) 、f2(τ)\ f_2(\tau) f2(τ)，其中f1(τ)\ f_1(\tau) f1(τ) 不变，动f2(τ)\ f_2(\tau) f2(τ)。
先把f2(τ)\ f_2(\tau) f2(τ)沿x轴方向对称过去，即f2(−τ)\ f_2(-\tau) f2(−τ)，再向右平移 t 个单位距离（可理解为t = 2），即得到了f2(t−τ)\ f_2(t-\tau) f2(t−τ)。
将之前的f1(τ)\ f_1(\tau) f1(τ) 和变换后的f2(t−τ)\ f_2(t-\tau) f2(t−τ)相乘，得到了一个新函数。想象！（建议随便画个图瞅瞅）
最后，积分即求面积，对乘后的函数从τ=−∞\tau=-\inftyτ=−∞到τ=+∞\tau=+\inftyτ=+∞计算面积，即为卷积结果。

F(t)是什么？

在上面的理解中，如果每次把 t 当作一个常数的话（eg. t = 2），整个过程即为“对称—平移—相乘—积分（求面积）”。实际上，t 是一个可以从−∞-\infty−∞到+∞+\infty+∞连续变化的量，每一次可以平移0.0001，也可以平移 -500，可以理解为当 t 每改变一次都会重复一遍上述过程，如果 t 连续变化，则得到一个关于 t 的函数 F(t)。

卷积的物理含义

已知什么？

两个函数（信号）f1(t)\ f_1(t) f1(t) 和f2(t)\ f_2(t) f2(t)你是知道的，之前写成f1(τ)\ f_1(\tau) f1(τ) 、f2(τ)\ f_2(\tau) f2(τ)是为了便于理解。

要求什么？

F(t) ，F(t)=f1(t)∗f2(t)F(t) =f_1(t)*f_2(t)F(t)=f1(t)∗f2(t)

怎么求？

上面讲过了。

求的是什么吗？

思考上述过程，你会发现，每计算一个 F(t) 都要重复一次整个过程，而每个过程都把f1(t)\ f_1(t) f1(t) 和f2(t)\ f_2(t) f2(t)中的全部 t 扫描了一遍，这其实是一个相当复杂的过程。如果f1(t)\ f_1(t) f1(t) 、f2(t)\ f_2(t) f2(t) 和F(t)\ F(t) F(t)是一个同步进行的过程，可以将F(t)\ F(t) F(t)看作是对f1(t)\ f_1(t) f1(t) 和f2(t)\ f_2(t) f2(t)综合影响的同步更新。F(t)\ F(t) F(t)显示的是f1(t)\ f_1(t) f1(t) 和f2(t)\ f_2(t) f2(t)在 ttt 时刻及ttt 之前所有时间段内的反映。
用一句话来解释就是，“出来混，迟早是要还的！”，意思是你之前（ttt 之前）做过的一切，都会对你的现在（ttt时刻）和将来（ttt 之后）造成影响。

互相关

定义相互关函数

科学家们首先想到的是，"相关"是用于描述两种事物之间关系的媒介。所以，先提出了互相关。在看公式之前,本垃圾想先说一下自己对于公式这种东西的看法:本垃圾认为，有些数学公式完全科学家们根据自己的思维习惯所"创作"的，之所以公式会被广泛使用于各个场合，是因为受到了同行和人们的认可。本垃圾还认为，如果有一些勇敢的人，敢于挑战前辈科学家们的思维方式，提出一个可以取代传统公式的21世纪的公式，并证明它更简单、更好用，这会是科学史上一大突破。
下面瞅瞅公式吧！
R12(τ)=∫−∞+∞f1(t)f2(t−τ)dt=∫−∞+∞f1(t+τ)f2(t)dtR_{12}(\tau)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)f_2(t-\tau)\, dt =\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t+\tau)f_2(t)\, dt R12(τ)=∫−∞+∞f1(t)f2(t−τ)dt=∫−∞+∞f1(t+τ)f2(t)dt
R21(τ)=∫−∞+∞f1(t)f2(t−τ)dt=∫−∞+∞f1(t)f2(t+τ)dtR_{21}(\tau)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)f_2(t-\tau)\, dt =\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t)f_2(t+\tau)\, dt R21(τ)=∫−∞+∞f1(t)f2(t−τ)dt=∫−∞+∞f1(t)f2(t+τ)dt
说明：看着有点复杂，不过，不要慌，这和卷积的形式很像。

卷积与互相关的区别：

（1）自变量不同
卷积后函数自变量为 t ，指的是时刻（时间）；互相关函数自变量为τ\tauτ，指的是两个信号（函数）之间的时间间隔。* τ\tauτ是科学家们的习惯表示方法，不用纠结于此。
（2）含义不同（本质差异）
卷积，反映的是之前对于现在的影响；互相关函数，反映的是具有一定时间间隔（不同时发生）的两种事物之间的相关程度。
（3）积分对象不同
卷积公式中是对 τ\tauτ 进行积分；互相关公式中是对 ttt 进行积分的。原因与函数定义有关，不解释了。(本垃圾有点懒了)

卷积与互相关运算的区别：

唯11条：互相关函数的运算不需要“对称过去”。因为，你在比较两个东西是否相关的时候，干嘛要把其中一个翻过去。

自相关函数

自相关其实是对互相关的一种延伸，用于量化自己本身在不同时刻的相关程度。它的数学公式，也是通过互相关的计算方法得出的：
R(τ)=∫−∞+∞f(t)f(t−τ)dt=∫−∞+∞f(t+τ)f(t)dtR_(\tau)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)f(t-\tau)\, dt =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t+\tau)f(t)\, dt R(τ)=∫−∞+∞f(t)f(t−τ)dt=∫−∞+∞f(t+τ)f(t)dt
含义很简单，本垃圾就不再写了。

自相关和互相关的区别

互相关：衡量两个不同信号之间的相似程度。
自相关：衡量自己和另一个瞬间的自己的相似程度。

最后，很重要！很重要！很重要！

以上观点和理论均是小垃圾通过自己的研究和学习总结出来的，并没有机会得到权威专家的认可。如果有不正确的地方，还请大家耐心指正，请原谅我还是个小垃圾~