【leetcode】最长回文子串(区间dp)

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。
示例 2：

输入: “cbbd”
输出: “bb”

链接：leetcode原题

思路分析：

这题是区间dp经典题目。
先来看看回文子串的定义：
长度为1：a, b. 单个字符就是一个回文串
长度为2：aa, bb. 两个相同的字符就是一个回文串
长度为3：aba, dad.
长度为4：abba, daad.
长度为5：abcba, dacad.
我们可以定义两个状态i, j表示区间[i,j]. 令dp[i][j]表示区间[i,j]是否是回文子串。
可以发现，dp初始状态在长度为1，2的条件。当长度>2时，若s[i] == s[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1]. 也就是说，只要s[i] == s[j]，并且区间[i+1,j-1]是回文串，那么区间[i,j]就是回文串。比如aba，s[0] == s[2] == ‘a’，中间的b(dp[1][1])是回文串，于是aba是回文串。又比如abba，s[0] == s[3]，dp[1][2]是回文串，那么abba就是回文串。
那么我们就可以验证该状态转移方程是正确的了。

接下来就是写递推。我们需要初始化长度1，长度2的回文串，长度3的回文串由长度1推出，长度4的回文串由长度2推出，长度5的回文串由长度3推出…
于是第一层for循环是长度[3,n]递推。
那么第二层for循环便是遍历区间的起点。
区间的终点 = 区间起点+区间长度-1.
两层for循环，时间复杂度O(n^2).
由于长度是递增的递推，因此我们只需要在满足回文串的条件下更新最大长度maxLen，就可以得到最长的回文子串长度。
下面上代码：

class Solution {public:int dp[1010][1010];string longestPalindrome(string s) {memset(dp,0,sizeof(dp));    int n = s.length();int l = 0, maxLen = 1;for(int i = 0;i < s.length();i++)   //初始化{dp[i][i] = 1;    //长度为1，自身就是回文串if(s[i] == s[i+1] && i+1 < n)   //两个相同字符组成长度为2的回文串dp[i][i+1] = 2, l = i, maxLen = 2;}for(int len = 3;len <= n;len++) //区间长度递推{for(int i = 0;i+len-1 < n;i++)  //区间起点枚举{int j = i+len-1; //区间终点if(s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1])   //满足回文串条件{dp[i][j] = 1;    //定义区间[i,j]为回文串l = i, maxLen = len;   //更新区间起点和长度}}}return s.substr(l,maxLen);}
};

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