CQF笔记M1L1资产的随机行为

简介
Module 1 Building Blocks of Quant Finance
- Lecture 1 The Random Behaviour of Assets
- - 三种分析方法
  - 收益率
  - 离散时间下的收益率
  - 连续时间下的收益率

简介

CQF课程简介

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 1 The Random Behaviour of Assets

三种分析方法

基本面分析：从财务报表/管理团队等角度分析公司（股票）价值。存在的问题：
- 难以分析：大量问题没有体现在报表中
- The market can stay irrational longer than you can stay solvent(Keynes).市场会长期不理性：持有低估值的公司导致持续亏损
技术分析：只关心从历史股价以及从中中提取的信息，大量研究表明这种方法是无用功
量化分析：用随机性对股价/利率建模

备注：CQF关注量化金融，上面这段比较可能有失偏颇。关注点在于：量化分析基于对随机性建模。

收益率

SPX指数1950年至今的日回报分布近似为正态分布（这里可以理解为实证研究）

假设收益率为正态分布，则有
R i = S i + 1 − S i S i = m e a n + s t a n d a r d d e v i a t i o n × ϕ 其中 ϕ 是标准正态分布 , 均值 m e a n 和标准差 s t a n d a r d d e v i a t i o n 都是常数 \begin{aligned} &R_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} = mean + standard \ deviation \times \phi \\ &其中 \phi是标准正态分布,\\ & 均值mean和标准差standard \ deviation都是常数 \end{aligned} Ri=SiSi+1−Si=mean+standard deviation×ϕ其中ϕ是标准正态分布,均值mean和标准差standard deviation都是常数

离散时间下的收益率

单期时间用 δ t \delta t δt表示，单位为年，
计算SPX收益率时，单期时间 δ t \delta t δt为一天，所以 δ t = 1 252 \begin{aligned}\delta t = \frac{1}{252}\end{aligned} δt=2521
用 μ \mu μ表示年化收益率(growth rate/drift rate), 则单期收益率的均值 m e a n = μ δ t mean = \mu \delta t mean=μδt
忽略收益率等式中的随机项
R i = S i + 1 − S i S i = μ δ t \begin{aligned} R_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} = \mu \delta t \end{aligned} Ri=SiSi+1−Si=μδt
S i + 1 = S i ( 1 + μ δ t ) \begin{aligned} S_{i+1}= {S_i} (1 + \mu \delta t) \end{aligned} Si+1=Si(1+μδt)
S M = S M − 1 ( 1 + μ δ t ) = S M − 2 ( 1 + μ δ t ) 2 = ⋯ = S 0 ( 1 + μ δ t ) M = S 0 e M l o g ( 1 + μ δ t ) ≈ S 0 e M μ δ t , 当 δ t → 0 时 = S 0 e μ t \begin{aligned} S_{M} &= {S_{M-1}} (1 + \mu \delta t) \\ &= {S_{M-2}} (1 + \mu \delta t)^2 \\ &= \cdots \\ &= {S_{0}} (1 + \mu \delta t)^M \\ &= {S_{0}} e^{Mlog(1 + \mu \delta t)} \\ &\approx {S_{0}} e^{M\mu \delta t}, \ 当\delta t \rightarrow 0时 \\ &= {S_{0}} e^{\mu t} \\ \end{aligned} SM=SM−1(1+μδt)=SM−2(1+μδt)2=⋯=S0(1+μδt)M=S0eMlog(1+μδt)≈S0eMμδt, 当δt→0时=S0eμt
上述推导说明，当 M → ∞ , δ t → 0 M \rightarrow \infin, \ \delta t \rightarrow 0 M→∞, δt→0 时，，收益率与步长 δ t \delta t δt无关
用 σ \sigma σ表示收益率的年化波动率，则单期收益率的波动率为 s t a n d a r d d e v i a t i o n = σ δ t standard \ deviation=\sigma \sqrt{\delta t} standard deviation=σδt
备注：这里隐含了一个假设：单期收益率相互独立，多期收益率满足平方根法则
如果 X , Y X, Y X,Y相互独立, 则 C O V ( X , Y ) = 0 \begin{aligned} COV(X, Y) = 0 \end{aligned} COV(X,Y)=0
V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + 2 C O V ( X , Y ) = V ( X ) + V ( Y ) \begin{aligned} & V(X+Y) \\ = & V(X)+V(Y) + 2COV(X, Y) \\ = & V(X)+V(Y) \end{aligned} ==V(X+Y)V(X)+V(Y)+2COV(X,Y)V(X)+V(Y)
收益率等式
R i = S i + 1 − S i S i = m e a n + s t a n d a r d d e v i a t i o n × ϕ = μ δ t + σ ϕ δ t \begin{aligned} R_i &= \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} \\ &= mean + standard \ deviation \times \phi \\ &= \mu \delta t + \sigma \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned} Ri=SiSi+1−Si=mean+standard deviation×ϕ=μδt+σϕδt
S i + 1 − S i = μ S i δ t + σ S i ϕ δ t \begin{aligned} S_{i+1} - S_i = \mu S_i \delta t + \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned} Si+1−Si=μSiδt+σSiϕδt
这个等式是蒙特卡洛模拟的基石，是随机游走的离散时间模型

连续时间下的收益率

S i + 1 − S i = μ S i δ t + σ S i ϕ δ t \begin{aligned} S_{i+1} - S_i = \mu S_i \delta t + \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned} Si+1−Si=μSiδt+σSiϕδt

在连续时间条件下

等式右边的第一项 μ S i δ t \mu S_i \delta t μSiδt中, δ t \delta t δt变为 d t dt dt
等式右边的第二项 σ S i ϕ δ t \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t} σSiϕδt 中, 因为随机变量 ϕ \phi ϕ的存在, δ t \sqrt{\delta t} δt 不能直接变为 d t \sqrt{dt} dt
将 ϕ δ t \phi \sqrt{\delta t} ϕδt 记为 d X dX dX, 有 E [ d X ] = 0 , E [ d X 2 ] = d t E[dX]=0, E[dX^2] = dt E[dX]=0,E[dX2]=dt, d X dX dX称为维纳过程 Wiener Process
资产价格的连续时间模型 d S = μ S d t + σ S d X dS = \mu S dt + \sigma S dX dS=μSdt+σSdX
这是一个随机微分方程Stochastic Differential Equation (SDE)