[ARC064C] Cosmic Rays-宇宙射线题解

说实话，最初看到题目中说的“可以向任意方向移动”吓了一跳，脑中脑补了各种行走的蜿蜒曲径。。。

在一不小心点开标签后才发现，其实只是一个坑点在误导读者。

题目大意

最短路定义为经过的未被覆盖区域，给定起点和终点，求最短路

思路

问题1：最短路跑什么？

首先我们要想清楚一件非常重要的性质，题目中给定的最短路只有一个条件：经过的未被覆盖的路径；

也就是说，为了尽可能的减少暴露的路径的长度，不论覆盖区域中的路径长度有多长，都要走这条路（所以据说输出0都可以得到35分的好成绩）

问题2：最短路怎么跑？

解决完问题1后，第二个问题迎面而来：最短路怎么跑？

相信一定有不少人这时脑中也脑补了各种弯曲的路线，但我们转念一想：

以下这种情况，哪条路径更优？（蓝色or绿色）

无法判断的话，可以这么理解：

我们以start为圆心，第一段蓝色线段暴露的路径为半径画圆，与黑色的圆相切与A点；

那么第一段蓝色线段一定垂直于切线，而绿色线段与切线有一定的夹角；

所以第一段蓝色线段暴露的路径长度比绿色线段短；

同理，第二段蓝色线段暴露的路径长度也比绿色线段短，所以蓝色路比绿色路优。

至此，我们得到了一条重要的结论：对于一个覆盖的区域来说，经过它的圆心永远比不经过圆心优

问题3：怎样转化成最短路？

其实题目隐藏了一条重要信息：起点和终点也有覆盖范围，只不过是0

那么我们就可以把所有点都归成一类：

struct node{int x,y,len;}a[N];//坐标及半径

瞄一眼数据范围： n ≤ 1000 n\le1000 n≤1000

这么小？直接点之间两两连边！

点的编号？就是读入顺序，起点和终点另外加两个。
边权？两个点之间的欧几里得距离减去两个点覆盖区域的半径。
怎么跑？dij或spfa皆可，裸的最短路板子。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1005//点数
#define M 1000005//边数
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f//inf开大一点，数据范围是1e9
#define endl '\n'
#define debug cerr<<__LINE__<<endl
using namespace std;
int n,m;
int xs,xt,ys,yt;
inline int read(){register int f=1,k=0;register char c=getchar();while(c!='-'&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();if(c=='-') f=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9') k=(k<<3)+(k<<1)+(c^48),c=getchar();return f*k;
}
inline void write(register int x){if(x<0) x=-x,putchar('-');if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
inline long long mul(const register int x){return 1ll*x*x;}//一定要记得开long long
inline double get_dis(int x,int y,int a,int b){return sqrt(mul(a-x)+mul(b-y));}//欧几里得距离
namespace first{//特判了一下前20%数据int xx,yy,len;inline double solve(){xx=read(),yy=read(),len=read();return min(get_dis(xs,ys,xt,yt),get_dis(xx,yy,xs,ys)+get_dis(xt,yt,xx,yy)-(len<<1));}
}
namespace second{int head[N],cnt;double dis[N];//欧几里得距离，用doublebool vis[N];struct edge{int to,nxt;double val;}e[M<<1];//同上，doublestruct node{int x,y,len;}a[N];priority_queue<pair<double,int>,vector<pair<double,int> >,greater<pair<double,int> > >q;inline void add(register int u,register int v,register double w){e[++cnt].to=v;e[cnt].val=w;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;e[++cnt].to=u;e[cnt].val=w;e[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt;}inline void dijkstra(const register int s){fill(dis+1,dis+n+3,inf);//因为是double类型，所以不能用memset，fill是比for循环更好的选择dis[s]=0;q.emplace(0,s);//即q.push(make_pair(0,s));while(!q.empty()){//裸的最短路板子const register int u=q.top().second;q.pop();if(!vis[u]){vis[u]=1;for(register int i=head[u];i;i=e[i].nxt){const register int v=e[i].to;if(dis[v]>dis[u]+e[i].val){dis[v]=dis[u]+e[i].val;q.emplace(dis[v],v);}}}}}inline double solve(){for(register int i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].len=read();a[n+1]=(node){xs,ys,0};a[n+2]=(node){xt,yt,0};//额外把起点和终点都当成覆盖区域for(register int i=1;i<=n+2;i++)for(register int j=i+1;j<=n+2;j++) add(i,j,max(0.0,get_dis(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y)-a[i].len-a[j].len));//注意这里要特判dis，如果dis<0就说明两个圆有交集，边权直接赋为0dijkstra(n+1);return dis[n+2];}
}
main(void){freopen("1.in","r",stdin);xs=read(),ys=read();xt=read(),yt=read();n=read();if(n==1) return printf("%.10lf\n",first::solve()),0;//前20%数据return printf("%.10lf\n",second::solve()),0;//后80%数据return 0;
}

码风较奇葩（压行强迫症+卡常小能手）

欢迎觉得做法很麻烦或有错误的巨佬来喷