题目

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思路

多点求值是 O(qlog⁡2n)\mathcal O(q\log^2 n)O(qlog2n) 的，无法通过。要利用点值的特殊性。题面里声称是因为 “输入量较大”，放屁嘞！

设 qn=xqn−1+y(n∈N+)q_n=xq_{n-1}+y\;(n\in\N^+)qn=xqn−1+y(n∈N+)，很容易求出通项公式
qn=xn−1x−1⋅y+xnq0q_n={x^n-1\over x-1}\cdot y+x^nq_0 qn=x−1xn−1⋅y+xnq0
注意到变量只有 xnx^nxn，所以把它简化为 kxn+bkx^n+bkxn+b 。具体值就自己对应一下就好了。

这时候我们会想要将这个值直接代入，来观察式子的性质。设 f(x)=∑aixif(x)=\sum a_ix^if(x)=∑aixi，则
f(kxm+b)=∑i,jai(ij)⋅kjxmjbi−j=∑jxmj⋅kjj!∑i(i!⋅ai)⋅bi−j(i−j)!f(kx^m+b)=\sum_{i,j}a_i{i\choose j}\cdot k^jx^{mj}b^{i-j}\\ =\sum_{j}x^{mj}\cdot{k^j\over j!}\sum_{i}(i!\cdot a_i)\cdot{b^{i-j}\over(i-j)!} f(kxm+b)=i,j∑ai(ji)⋅kjxmjbi−j=j∑xmj⋅j!kji∑(i!⋅ai)⋅(i−j)!bi−j
注意到 xmjx^{mj}xmj 说白了就是 (xm)j(x^m)^j(xm)j，而右侧又是只与 jjj 有关的系数，所以我们会考虑直接求出系数 vj=kjj!∑i(i!⋅ai)⋅bi−j(i−j)!v_j=\frac{k^j}{j!}\sum_{i}(i!\cdot a_i)\cdot{b^{i-j}\over(i-j)!}vj=j!kj∑i(i!⋅ai)⋅(i−j)!bi−j，显然这是 O(nlog⁡n)\mathcal O(n\log n)O(nlogn) 一次卷积就可以完成的。记 g(x)=∑jvjxjg(x)=\sum_{j}v_jx^jg(x)=∑jvjxj，接下来只需求出 g(xm)g(x^m)g(xm) 。

利用这里讲的 Bluestain\text{Bluestain}Bluestain 算法，用 mj=(m+j2)−(m2)−(j2)mj={m+j\choose 2}-{m\choose 2}-{j\choose 2}mj=(2m+j)−(2m)−(2j) 就可凑出卷积形式。时间复杂度 O[(n+q)log⁡(n+q)]\mathcal O[(n+q)\log(n+q)]O[(n+q)log(n+q)] 。

代码

#include <cstdio> // Dangerous Dark Ghost!!!
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){int a = 0, c = getchar(), f = 1;for(; !isdigit(c); c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; isdigit(c); c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}
void writeint(unsigned x){if(x > 9) writeint(x/10);putchar(char((x%10)^48));
}const int MOD = 998244353, LOGMOD = 30;
inline int modAdd(int a,int b){return (a += b) >= MOD ? (a -= MOD) : a;
}
inline void modAddUp(int &a,int b){if((a += b) >= MOD) a -= MOD;
}
inline int qkpow(llong b,int q){llong a = 1;for(; q; q>>=1,b=b*b%MOD)if(q&1) a = a*b%MOD;return static_cast<int>(a);
}int g[LOGMOD], inv2[LOGMOD];
void prepare(){int p = MOD-1, x = 0; inv2[0] = 1;for(inv2[1]=(MOD+1)>>1; !(p&1); p>>=1,++x)inv2[x+1] = int(llong(inv2[x])*inv2[1]%MOD);for(g[x]=qkpow(3,p); x; --x)g[x-1] = int(llong(g[x])*g[x]%MOD);
}const int MAXN = 3000005;
void NTT(int a[],int n){const int *end_a = a+(1<<n);for(int w=1<<n>>1,x=n; w; w>>=1,--x)for(int *p=a; p!=end_a; p+=(w<<1))for(int i=0,v=1; i!=w; ++i){const llong l = p[i];modAddUp(p[i],p[i+w]);p[i+w] = int(llong(l+MOD-p[i+w])*v%MOD);v = int(llong(v)*g[x]%MOD);}
}
void DNTT(int a[],int n){const int *end_a = a+(1<<n);for(int w=1,x=1; x<=n; w<<=1,++x)for(int *p=a; p!=end_a; p+=(w<<1))for(int i=0,v=1; i!=w; ++i){const int t = int(llong(p[i+w])*v%MOD);p[i+w] = modAdd(p[i],MOD-t);modAddUp(p[i],t); // ordinaryv = int(llong(v)*g[x]%MOD);}std::reverse(a+1,a+(1<<n));for(int *i=a; i!=end_a; ++i)*i = int(llong(*i)*inv2[n]%MOD);
}int a[MAXN], tmp[MAXN], inv[MAXN];
int main(){prepare(); // DON'T FORGET THIS!int n = readint(), q = readint();rep(i,(inv[1]=1)+1,n)inv[i] = int(llong(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD);rep(i,0,n) a[i] = readint();int g0 = readint();int gx = readint(), gy = readint();int b = int(llong(gy)*qkpow(gx-1,MOD-2)%MOD);int k = b+g0; if(b) b = MOD-b;int N = 1; for(; (1<<N)<=(n<<1); ++N);for(int i=0,jc=1; i<=n; ++i){a[i] = int(llong(jc)*a[i]%MOD);jc = int(llong(jc)*(i+1)%MOD); // i!}for(int i=n-(tmp[n]=1); ~i; --i)tmp[i] = int(llong(tmp[i+1])*inv[n-i]%MOD*b%MOD);NTT(a,N), NTT(tmp,N); // mother f**ker polymulfor(int i=0; i!=(1<<N); ++i)a[i] = int(llong(a[i])*tmp[i]%MOD);DNTT(a,N); memmove(a,a+n,(n+1)<<2); // memmovefor(; (1<<N)<=(n<<1)+q; ++N); // biggerconst int invgx = qkpow(gx,MOD-2);for(int i=0,v=1,av=1,avv=1; i<=n; ++i){a[i] = int(llong(v)*a[i]%MOD*avv%MOD);v = int(llong(v)*inv[i+1]%MOD*k%MOD);avv = int(llong(avv)*av%MOD); // x^{-i*(i-1)/2}av = int(llong(av)*invgx%MOD); // x^{-i}}std::reverse(a,a+n+1); // reversememset(a+n+1,0,((1<<N)-n-1)<<2);for(int i=0,v=1,av=1; i<=n+q; ++i){tmp[i] = av; // x^{i*(i-1)/2}av = int(llong(av)*v%MOD);v = int(llong(v)*gx%MOD);}memset(tmp+n+q+1,0,((1<<N)-q-n-1)<<2);NTT(a,N), NTT(tmp,N);for(int i=0; i!=(1<<N); ++i)a[i] = int(llong(a[i])*tmp[i]%MOD);DNTT(a,N); memmove(a,a+n,(q+1)<<2);for(int i=0,v=1,av=1; i<=q; ++i){a[i] = int(llong(a[i])*av%MOD);av = int(llong(av)*v%MOD);v = int(llong(v)*invgx%MOD);}int xyx = 0; // xor sumfor(int i=1; i<=q; ++i)xyx ^= a[i]; // answerprintf("%d\n",xyx);return 0;
}

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