寻找最值

　　在上篇文章曲线构图中，我们可以非常容易地从图上找到函数的最值点。想要求得一个函数的最值点，自然会联想到通过构图寻找，但是构图并不是一个轻松的过程。观察最值点在函数曲线上的位置，可以得出结论：最值点可能存在于临界点、无限远端或驻点。因此仅需要知道这几个点便可以知道函数的最值点。

正方形的最大面积之和

　　很多情况下最值问题会以文字叙述的形式出现，下面是一个典型的例子：

　　将一段长为1米的绳子剪成两段，每段围成一个正方形，这两个正方形的最大面积之和是多少？

　　利用初等代数知识，设其中一段绳长为x米，则另一段是1-x，隐含约束是0 < x < 1

　　两个正方形的面积之和S = (x/4)² + ((1 – x)/4)² = (2x² – 2x + 1)/16

　　边界值：当x→0⁺, S → 1/16； x→1^-, s → 1/16

　　开始寻找驻点。

　　唯一驻点x₀ = 1/2，驻点值S(x₀) = 1/32

　　由于知道S是一个抛物线，所以可以确定驻点值就是最小值；最大值应当在抛物线两端，根据x的定义域，S的极限值是1/16，结合实际就是：其中一段绳子越短，两个正方形的面积之和最大。

盒子的最小表面积

　　固定容积的无顶盖的盒子，盒子底部是正方形，使其表面积最小是多少？

　　如上图所示，设盒子的底边x，高为y，则体积V = x²y，表面积S = x²+ 4xy

　　由于体积固定，将y用x表示，y=V/x²，S = x² + 4V/x

　　这里含的条件是 0 < x < +∞，当x→0⁺, S → +∞； x→+∞, S → +∞

　　边界值没有指望了，寻求驻点：

　　有唯一驻点：

　　表面积的最小值就是3×2^1/3V2^/3

　　这个表达式太长了。我们注意到在驻点x和y是跟体积有关的定值：

　　这就是答案，当x/y=2时，表面积最小。

　　解法2，使用隐函数微分法

　　V = x²y， S = x²+ 4xy

最短时间

　　一辆汽车从小路上的某一点开往高速路尽头的工厂，汽车在小路上和高速的速度是30和60。假设小路上处处可走，且能够随意进入高速，如果汽车要在最短时间内到达工厂，应该从哪里进入高速？

　　首先将其转化成数学模型：

　　高速路段BE的长度是b，汽车从C点进入高速，问题转换为求最佳的x。A到E的总时间：

当t’ = 0时，耗时最短，此时a² = 3x²，所以x = 3^-1/2a耗时最短。

然而这并不是全部答案，如果x > b，那么直接走直线就是最短的耗时。

相关变率

　　相关变率是微积分在实际问题中的一类应用，求解的是变化率问题，通常很有趣。在求解最小表面积时，我们最后使用了隐函数微分法求解，使答案直指目标，在相关变率问题中，继续尝试隐函数微分法。

汽车测速

　　路段的限速为100km/h，交警手持测速设备在距公路垂直距离为30米的地方对过往车辆测速。一辆汽车在该公路上行驶，测速设备探得该汽车现距离交警50米，以80km/h的速度接近交警，该车是否正在超速行驶？

　　根据题目可以得到下面的模型：

　　直角三角形的三边都是已知的，一个隐藏的因素是时间t，随着时间的变化，D和x都将发生变化。汽车对于交警的速度相当于距离D对于时间t的导数，汽车在公路上的速度相当于x对于t的导数。可使用隐函数微分法求解：

　　汽车未超速。

水平面上升速度

　　圆锥体的底面半径为4m，高为10m，以2m³/sec的速度向圆锥体注水，在高5m处，水平面上升的速度是多少？

　　首先将题目进行一次转换，将水深5m的图形画出来，但是再次使用圆锥体已经没有多大意义，只需要圆锥的横截面即可。由此可以把图形转化为直角三角形：

　　一个已知条件是注水速度，速度相当于水量对于时间的导数，要求解的是水平面高度对于时间的导数。

　　r和h已知，r=2h/5，利用体积公式，通过隐函数微分法：

　　答案是(1/2π)m/sec

悬挂模型

　　有一根固定长度的绳子，绳上穿有一个可移动的重物。把绳子两端固定，重物将自然下垂，问题是，重物下垂点是什么？

　　题目中有两个隐含的常量，绳长和两个端点的位置。这很明显要用到椭圆的知识，当绳子两端都在水平面上时，可以得到下面的几何模型：

　　△ACB是等腰三角形，AB和AC已知，很容易知道C的位置。

　　然而实际问题往往不这么简单，AB通常不在水平面上，我们将得到一个倾斜的椭圆：

　　这下有点难度了。

　　如果我们把椭圆想象成一个密闭的容器，C点看作一个小钢珠，那么无论怎样倾斜这个椭圆，小钢珠都将滑落到椭圆的最低点，也就是切线为0的点。

　　现在设C点的坐标为(x, y)，C就是椭圆曲线的驻点，约束公式是椭圆曲线的公式，我们又可以使用隐函数微分法了。

　　这似乎没有问题，但实际操作时会发现，由于椭圆是倾斜的，我们不得不引入一些其他变量，这使得该方法异常麻烦，以至于一开始就放弃了。必须想办法把约束公式转换为更简单的模型：

　　如上图所示，引几条辅助线，形成两个直角三角形，并且PC⊥切线。设A点的坐标是(0,0)，B点坐标为(a,b)，由此可知P和Q的坐标分别是(a-x,b)，(x,0)，QA=x，QC=-y，PC=b-y，PB=a-x；设绳长为L，于是约束公式变成了：

　　可以使用隐函数微分法了，此处分开计算。

　　1) 设u=x²+y²，根据链式求导法则：

　　2) 设u=(a-x)²+(b-y)²，根据链式求导法则：

　　1)和2)的求导都反复使用了链式求导法则。

　　3) 结合约束公式：

　　看上去很复杂，但是由于C点是驻点，所以y’=0，代入上式后：

　　这就是答案了，它展示了xy与ab的关系，但是太过复杂，严重怀疑在实际应用中是否有价值。

　　代数上太复杂了，可以看看它的几何意义。

　　如果把等式代入上图，那么得到下面的结果：

　　这就是有意义的结果了。

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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