石子游戏：移除石子价值总和能被三整除则输

本篇文章实为分享：

A 和 B 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。

规则：

1.A 和 B轮流进行自己的回合，A先手。

2.每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。

3.如果玩家移除石子后，导致所有已移除石子的价值总和可以被 3 整除，那么该玩家就输掉游戏。
4.如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 B 将会直接获胜（即便是在 A的回合）。
假设两位玩家均采用最佳决策。如果 A 获胜，返回 true ；如果 B获胜，返回 false 。

分析：

思路与算法

由于玩家的目标是使得已经被移除的石子的价值总和不是 3 的倍数，因此我们可以把石子分成三类，它们的价值除以 3 的余数分别为 0, 1, 2。我们可以直接用 0, 1, 2 代表它们的价值，对应的石子数量分别为cnt0,cnt1,cnt2

可以发现，移除类型 0的石子并不会对总和产生影响，因此类型 0 的石子可以看成是「先后手」交换。具体地，例如当前是 A 在进行操作，它发现如果自己选择移除类型 1 或 2 的石子，那么她在最后一定不能获胜。这时它就可以选择移除一个类型 0 的石子，将同样的局面交给 B。如果类型 0 的石子还没有移除完，那么 B 同样可以通过移除一个类型 0 的石子将局面重新交给 A。这样不断地往复下去，我们可以得到结论：

如果类型 0 的石子的个数为偶数，那么胜负情况等价于没有类型 0 的石子的胜负情况；

如果类型 0 的石子个数为奇数，那么胜负情况等价于只有 1 个类型 0 的石子的胜负情况。注意这里不能单纯地等价于「没有类型 0 的石子的胜负情况」的相反情况，这是因为如果所有的石子都被移除完，无论谁移除了最后一个石子，都算 A 输。因此如果 A 发现自己选择移除类型 1 或 2 的石子不能获胜，于是选择移除类型 0 的石子，并且它不能获胜的原因是「石子会移除完」，那么 A 仍然会输。

将类型 0 的石子考虑完全之后，我们就还剩下类型 1 和 2 的石子了。可以发现，为了保证移除石子的和不为 3 的倍数，操作顺序只有可能为下面的两种情况：

如果 A 首先移除类型 1 的石子，那么 B 只能移除类型 1 的石子，在这之后 A 只能移除类型 2 的石子，B 同样只能移除类型 1 的石子。以此类推，移除石子的类型序列为：
1121212121⋯

如果 A 首先移除类型 22 的石子，我们可以类似得到移除石子的类型序列为：
2212121212⋯

作为先手的 A 可以在二者中选择一个序列。例如 A 选择第一种，那么 B 永远移除类型 1 的石子，A 除了第一步移除类型 1 的石子之外，后续永远移除类型 2 的石子。因此 A 可以获胜当且仅当：

类型 1 的石子恰好有 1 个，并且类型 2 的石子至少有 1 个。此时 A 在 B 完成第一步时获胜；

类型 1 的石子至少有 2 个，并且不能比类型 2 的石子多：

如果多 1 个，那么在 A 移除最后一个类型 2 的石子后，所有的石子都被移除，B 获胜；

如果多 2 个，那么在 B 移除最后一个类型 1 的石子后，所有的石子都被移除，B 获胜；

如果多超过 2 个，那么 A 会在某一步没有类型 2 的石子可以移除，B 获胜；

如果一样多或类型 2 的石子更多，那么 B 会在某一步没有类型 1 的石子可以移除，A 获胜。

上面的两个条件可以归纳为同一个条件，即有类型 1 的石子，并且不能比类型 2 的石子多。

同理，如果 A 选择第二种，那么她获胜当且仅当有类型 2 的石子，并且不能比类型 1 的石子多。

上述的两种情况也可以归纳为同一种情况，即类型 1 和类型 2 的石子至少都有 1 个。

细节

回到前面关于类型 0 石子的讨论，可以得到 A 获胜的条件：

如果类型 0 的石子的个数为偶数，那么 A 获胜当且仅当类型 1 和类型 2 的石子至少都有 1 个；

如果类型 0 的石子的个数为奇数，那么 A获胜当且仅当「在没有类型 0 石子的情况下，B 获胜且原因不是因为所有石子都被移除」。对应到上面的分析即为「类型 1 的石子比类型 2 多超过 2 个」或者「类型 2 的石子比类型 1 多超过 2 个」。

class Solution:def stoneGameIX(self, stones):""":type stones: List[int]:rtype: bool"""cnt0 = cnt1 = cnt2 = 0for val in stones:if (typ := val % 3) == 0:cnt0 += 1elif typ == 1:cnt1 += 1else:cnt2 += 1if cnt0 % 2 == 0:return cnt1 >= 1 and cnt2 >= 1return cnt1 - cnt2 > 2 or cnt2 - cnt1 > 2

来源：
https://leetcode-cn.com/problems/stone-game-ix

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