理论力学（1）——静力学

静力学五个公理

力的平行四边形法则
二力平衡条件：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡必要和充分条件就是两个力等大反向，作用在同一物体上
加减平衡力系原则
力的可传性
三力平衡汇交定理
作用和反作用定律（作用在不同的物体上）
变形体在某一个力系的作用下处于平衡状态，将变形体变为刚体，其平衡状态保持不变（反之不一定成立）

约束和约束力

自由物体（自由体）：空间位置不受到限制的物体
非自由体：空间位置受到限制的对象称为非自由体
约束：非自由物体的运动受到的限制称为约束或者对非自由体的位移起限制作用的物体
约束力(约束反力)约束对被约束物体的作用力
约束力分为理想约束力和非理想约束力
主动力：使物体产生运动或者运动趋势的力。

工程中常见的约束及约束力方向的确定

1、光滑接触约束：此时的约束力垂直两个接触面的公切面，沿着公切面的法线方向指向被约束物体

2、柔索类约束：只能才承受拉力，力的方向沿柔索的方向指向被约束物体

3、光滑铰链约束：

（1）径向轴承：间隙约束，外界载荷不同，接触点会变化，所以约束力的大小和方向均有改变

（2）光滑圆柱铰链:用两个正交分力表示

（3）固定铰链支座：用两个正交分力表示

4、其他类型

（1）滚动支座

（2）球铰链

（3）止推轴承

物体的受力分析和受力图

1、受力分析和受力图

取分离体

步骤：画出简图à画出所有主动力à按约束性质画出所有的约束力

2、二力构件

3、画受力图练习

4、力学模型和力学简图

注：内力禁止出现在受理图上面

二力构件

只在两个作用下平衡的构件叫做二力构件，若二力构件为直杆或弯管的话，称为二力杆
```
 注：1、一个构件是否为二力构件仅与他的受力有关
```
画受力图时，不一定要给出真实的受力方向，因为在实际情况中，真实的受力方向有时是很难直接判断的，我们给出的都是假定的受力方向，真实的方向需要具体的计算结果来得到
对于弯杆之类的形状并不是很规则的二力构件，其受到的两个力一定在同一条直线上，即两个受力点的连线上

力学模型和力学简图

1、力学建模：
将实际问题抽象为力学模型的过程，对任何实际的问题进行分析、计算时，都要将实际的问题进行抽象形成力学模型，然后对力学计算实际上都是针对力学模型进行分析、计算的，将实际的问题转化为力学模型是进行力学计算所必需的、重要的、关键的一环，直接影响着计算的结果和过程

2、力学建模的原则

（1）抓住关键、本质因素、忽略次要因素

（2）多方面进行抽象化处理

非均匀材料假设均匀
结构有变形但是抽象为刚体
三维有时处理为二维
复杂形状简化为普通形状
载荷简化为集中力或者分布力甚至均布载荷
很多约束简化为理想约束

3、力学简图：

将力学模型用简单明了的图形进行表示

平面汇交力系和平面力偶系

1、平面汇交力系的合成与平衡表示法

汇交力系：各力汇交于一点的力系。可分为空间和平面汇交力系
合力：如果一个力与某一个力系等效，那么这个力就是这个力系的合力

（1）几何法：

两个力共点力的合成——力的三角形规则
多个汇交力的合成——力的多边形规则（力多边形不唯一）
汇交力系平衡条件：该力系的力多边形自行封闭

（2）解析法

力在直角坐标系上的投影和力沿坐标轴的分解

（3）平衡方程（主要使用的方法）

2、平面力偶系

（1）平面力对点的矩

（2）合力矩定理与力矩的解析表达式

合力矩定理：平面汇交力系的合理对平面内任一点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。

（3）力偶：有两个大小相等方向相反不共线的（平行）力组成的力系，

记作：(F,F′)(F,F') (F,F′)

力偶是力系但不是平衡力系
力偶没有合力，不能用一个力来等效替换，也不能用一个力来进行平衡，力偶必须要力偶进行平衡

（4）力偶矩：对力偶使物体转动效果的度量。

注：平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般逆时针为正，单位：，大小也
可以用三角形（平行四边形）的面积进行表示。

（5）同平面内力偶的等效定理：
在同一片平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。

推论（1）：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面的位置无关
推论（2）：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

平面力偶系的合成和平衡条件

（1）平面力偶系的合成：

（2）平面力偶系的平衡条件：

平面任意力系

（1）平面任意力系的简化

平面任意力系：力系中各力（偶）的作用线（面）处于同一平面且任意分布是，这样的力系称为平面任意力系
力的平移定理：可以把作用在刚体上的点A的力F平移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加的力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩
平面任意力系可以向平面内任意一点进行简化，简化为一个主矢和一个主矩
主矢：在力系的所在的平面内（大小与简化中心无关，但是作用线通过简化中心）
主矩：也在力系所在的平面内（大小一般与简化中心有关，作用点）

（2）平面任意力系向一点简化的结果分析
在平面力偶系的情况下，主矩的大小与简化中心是无关的

（3）平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平面任意力系平衡的充要条件：

力系的主矢与这个力系对任意一点的主矩都等于零

（4）平面任意力系的平衡方程：

平面任意力系平衡的解析条件：

所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零

平面平衡力系的平衡方程：

物体系的平衡静定和超静定问题

1、物体系的平衡，静定和超静定的概念

（1）静定：未知量的数目等于独立的平衡方程数目时，全部的未知量均可以求出，这样的问题叫做静定问题。

（2）超静定：未知量的数目超过了独立方程的个数，未知量不可以全部进行求解，这样的问题叫做超静定（静不定）问题，超静定问题的求解除了平衡条件，还需要加入变形条件（材料力学、结构力学）

（3）物体系的平衡问题及求解

先局部后整体的方法先整体后局部的方法

平面简单桁架的内力计算

桁架：一中由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，他在受力后几何形状不变。
桁架结构的优点：
结构强度大，稳定性和可靠性高，没根杆件只承受轴力，不承受弯矩和剪力。重量轻，耗材少，安装方便。分析计算方便，更换部件容易，适用范围广泛，结构灵活多变，工程中被大量广泛地使用。
节点：桁架中杆件的铰链接头
理想桁架假设：
（1）各杆均为直杆，各杆轴线位于同一平面内
（2）杆件与杆件之间军用光滑铰链连接
（3）载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内
（4）各杆件自重不计或者平均分布在节点上
静定桁架：基本三角形构成
m：杆数
n：节点数
每增加一个节点就要增加两根杆

算桁架杆件内力的方法

（1）节点法：

逐个取节点为研究对象，有已知的力进行求解
求支座约束力，以整体为研究对象画受力图
依次取一个节点为研究对象，计算各杆内力

（2）截面法：

如只想计算某几个杆件的内力，课选取一个适当的截面，假想地吧桁架截开，考虑任何一个部分的平衡，可求出这些被截杆件的内力

空间汇交力系的合成与平衡

1、空间汇交力系的合成与平衡
（1）力的坐标轴上的投影
直接投影

二次投影

注：指的是力在面的投影与x轴所成的角

（2）空间汇交力系的合成（与平面坐标轴类似）

（3）空间汇交力系的平衡方程（与平面坐标轴类似）

三个方程，可以求解三个独立的未知量

2、力对点的矩和力对轴的矩

（1）空间力对一点的矩
力F对一点O的矩取决于三要素：

A、大小:力矩作用面内，力F与力臂的乘积
B、转向:力矩作用面内，力F使物体绕O点的转动方向
C、力矩作用面

（2）空间力对点的矩的性质

A、力沿其作用线移动，不改变它对点的矩
B、力的作用线过矩心时，力矩为零
C、力对点的矩和矩心位置有关（定位矢量）

（3）空间力对轴的矩

度量某一物体绕某轴转动状态的改变

定义：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量

正负：右手定则

力与轴相交或者平行时，力对轴的矩为零（或当力的作用线与轴在同一平面内时，力对该轴的矩等于零）

（4）力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系

力对点的矩矢量在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩（力矩在某轴上的投影等于力对该轴的矩）

3、空力偶及其性质

（1）力偶矩矢量：对力偶使物体转动的效果的度量

（2）
空间力偶的性质

力偶在任意坐标轴上的投影为零（两力投影的代数和为零）
力偶没有合力，只能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡，只能由力偶来进行平衡
力偶对任意一点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变
只要保持刘矩不变，刘可从其所在的平面移到另一个与此平面平行的任意平面，对刚体的作用效果不变

（3）几个概念

定位矢量
滑移矢量
自由矢量

4、空间力偶系的合成与平衡

（1）合成：

任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢量等于各个分力偶矩矢的矢量和（作用点可以在任意位置，因为力偶矩矢是一个自由矢量）

（2）平衡方程也跟原来的空间力系合成类似，可以求解三个未知量

注:力偶一定要用力偶平衡  如果主动力全部为力偶的话，约束力必须构成力偶

力偶矩的计算不要拘泥于力乘力偶臂，当某点不方便直接表示某个力偶矩的时候完全可以把力偶当做力系来处理，分表计算力对这一点的矩，有的时候会更加方便

空间任意力系及重心计算

1、空间任意力系向一点的简化及结果分析

（1）空间任意力系向一点的简化的主矢和主矩

空间汇交力系与空间力偶系可以等效代替空间任意力系
这个空间汇交力系的合力就是主矢（作用点一般为简化中心）
空间力偶系的的合力偶矩就是主矩（大小与简化中心一般有关，作用位置是任意的）

（2）向一点简化的实际意义

以飞机来说：

主矢的效果提供有效升力（上升）、有效推进力（前进）、侧向力（侧移）
主矩产生偏航力矩（转弯）、滚转力矩（绕纵轴滚转）、俯仰力矩（俯仰）

（3）空间任意力系向一点简化结果

2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束

（1）平衡方程

有六个方程
空间任意力系平衡的充要条件：

力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零
平衡方程：基本式，x矩式
基本式以外的方程形式，通常不再给出限定条件，一般情况下只要列出的方程能够求出未知量就是未违反限制条件的
空间平行力系平衡方程：此时只有三个方程，可求三个未知量
各个力系的独立方程个数：

（2）空间常见约束类型

a) 一个未知量

b) 两个未知量

c) 三个未知量

d) 导向轴承和万向接头（4个）

e) 带有销钉的夹板和导轨（5个）

f) 空间固定端约束（6个）

分析实际的问题时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理的简化，比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承的区别。如果刚体只受到平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。
空间任意力系有6个独立的平衡方程，可以求解6个未知量，但是其方程不局限与基本式，为了解题和计算上的简单，每个方程中间最好只包含一个未知量，为此在选择投影轴的时候就应尽量与其他未知力垂直，取矩轴应该尽量与其余的未知力平行或者相交。投影轴也不一定要相互垂直，取矩轴也不一定要与投影轴重合，力矩的方程的数目可以取3个到6个。

3、重心的计算

（1）平行力系的中心

          结论 1：当主矢不为零时，平行力系总可以向某一点简化为一个合力。结论2：合力的作用点的位置只与各个平衡力的作用点的位置及各力的大小有关，而与力的方向无关，该点称为此平行力系的中心

（2）重心

物体各微小部分的重力近似组成一个空间平行力系，此力系的合力大小称为物体的重量，此力系的中心称为物体的重心，亦即重力合力的作用点称为物体的重心。

          地球表面附近的刚体，其重心相对物体本身来说是一个确定的几何点，不因该物体

的位置方位而变化。

（3）确定中心的方法：

a、对称确定法
b、悬挂法
c、称重实验法
d、有限分割法
e、无限分割法
f、负面积（体积）法

滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题

1、摩擦引言

（1）摩擦的分类：

滑动（静滑动和动滑动摩擦）和滚动摩擦（静滚动和动滚动摩擦）
干摩擦和湿摩擦

（2）摩擦产生机理

机械啮合理论
粘连理论

2、滑动摩擦理论

（1) 静滑动摩擦力和静滑动摩擦定律

静滑动摩擦力的特点：

（2) 动滑动摩擦力和动滑动摩擦定律

3、考虑摩擦的平衡问题（解析法）

计算摩擦力时，首先因为不知道是哪一种摩擦状态，我们就先假设平衡的状态，根据这一种假设可以列出平衡的方程，得到静摩擦力的一个值，然后检验这一个值是否满足最大静滑动摩擦力这样的一个条件，如果满足的话说明假设正确，如果不满足的话说明假设有误，需要按照非平衡态，也就是动滑动摩擦的方法来进行计算。
这也是机械运动状态未知系统的摩擦力的一中常用方法。

A. 画受力图时，必须考虑摩擦力

B. 要严格区分物体处于临界、非临界平衡状态

C. 问题的解一般在一个范围内

一般平衡问题：

即主动力已知，判断系统是否平衡的问题，通常解法是：假设系统平衡，此时系统受到的是静摩擦力，解出结果，看结果是否符合与假设相符；若不相符，则系统处于非平衡状态。
临界平衡问题：

即主动力未知，计算系统平衡（不平衡）时，主动力满足何种条件的问题。通这类为问题是取系统的临界平衡状态（考虑摩擦力的时候对应的是最大静摩擦力），计算此时主动力的大小，得到主动力边界值，然后根据实际情况确定主动力的范围，其解通常时在某一个范围之内的。

摩擦角和滚动摩阻