用闭区间套定理证明实数集是不可列的

闭区间套定理：如果{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]}是一个闭区间套，即满足[an+1,bn+1]⊂[an,bn][a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n][an+1,bn+1]⊂[an,bn]的嵌套关系，且区间长度bn−an→0b_n-a_n\to 0bn−an→0，则存在唯一的实数ξ\xiξ属于所有区间[an,bn][a_n,b_n][an,bn]，且ξ=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn\xi =\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}b_nξ=n→∞liman=n→∞limbn。

注意闭区间套定理是在实数集上成立的，因此可以用它来证明实数集不可列。假如实数集可列，就可以找到一种排列方式x1,x2,⋯,xn,⋯x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdotsx1,x2,⋯,xn,⋯，使得
R={x1,x2,⋯,xn,⋯}\R=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\} R={x1,x2,⋯,xn,⋯}
不妨取R\RR上一个集合[a0,b0][a_0,b_0][a0,b0]，将其三等分为三个闭区间
[a0,a0+b0−a03],[a0+b0−a03,b0−b0−a03],[b0−b0−a03,b0];\left[a_0,a_0+\frac {b_0-a_0}{3}\right],\left[a_0+\frac{b_0-a_0}3 ,b_0-\frac {b_0-a_0}{3}\right],\left[b_0-\frac{b_0-a_0}{3},b_0\right]; [a0,a0+3b0−a0],[a0+3b0−a0,b0−3b0−a0],[b0−3b0−a0,b0];
x1x_1x1至多能同时属于其中的两个闭区间，那么一定有一个闭区间不包含x1x_1x1，记作
x1∉[a1,b1],[a1,b1]⊂[a0,b0];x_1\notin [a_1,b_1],\quad [a_1,b_1]\sub [a_0,b_0]; x1∈/[a1,b1],[a1,b1]⊂[a0,b0];
继续对[a1,b1][a_1,b_1][a1,b1]进行三等分，x2x_2x2至多能同时属于其中两个闭区间，那么一定有一个闭区间不包含x2x_2x2，记作
x2∉[a2,b2],[a2,b2]⊂[a1,b1];x_2\notin [a_2,b_2],\quad [a_2,b_2]\sub [a_1,b_1]; x2∈/[a2,b2],[a2,b2]⊂[a1,b1];
以此类推，得到一个闭区间列[an,bn][a_n,b_n][an,bn]，由这个闭区间列的构造方式可以知道[an+1,bn+1]⊂[an,bn][a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n][an+1,bn+1]⊂[an,bn]，且bn−an=b0−a03n→0b_n-a_n=\dfrac{b_0-a_0}{3^n}\to 0bn−an=3nb0−a0→0，所以闭区间列{[a0,b0]}\{[a_0,b_0]\}{[a0,b0]}是一个闭区间套，由闭区间套定理，存在唯一的实数ξ\xiξ，满足ξ∈[an,bn],∀n∈N+\xi\in [a_n,b_n],\forall n\in \N_+ξ∈[an,bn],∀n∈N+。但由于
ξ∈[a1,b1],x1∉[a1,b1]⇒ξ≠x1;ξ∈[a2,b2],x2∉[a2,b2]⇒ξ≠x2;⋯ξ∈[an,bn],xn∉[an,bn]⇒ξ≠xn;⋯\xi\in [a_1,b_1],x_1\notin [a_1,b_1]\Rightarrow \xi \ne x_1;\\ \xi\in [a_2,b_2],x_2\notin [a_2,b_2]\Rightarrow \xi \ne x_2;\\ \cdots\\ \xi\in [a_n,b_n],x_n\notin [a_n,b_n]\Rightarrow \xi\ne x_n;\\ \cdots ξ∈[a1,b1],x1∈/[a1,b1]⇒ξ=x1;ξ∈[a2,b2],x2∈/[a2,b2]⇒ξ=x2;⋯ξ∈[an,bn],xn∈/[an,bn]⇒ξ=xn;⋯
即ξ\xiξ不是实数列{x1,x2,⋯,xn,⋯}\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}{x1,x2,⋯,xn,⋯}中的任何一个，也就是ξ∉R\xi \notin \Rξ∈/R，这显然是矛盾的，所以实数集一定是不可列的。

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