欧拉定理：

若正整数 a , n 互质，则 aφ(n)≡1(mod n) 其中 φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与 n 互质的数。

证明如下：

不妨设X1，X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。

　　首先我们先来考虑一些数：aX1，aX2 ...... aXφn

　　这些数有如下两个性质：

（1）任意两个数模n余数一定不同：（反证）

若存在aX1≡aX2（mod n），则 n |（ aX1 - aX2 ），

而a，n互质且（X1 - X2）< n，所以n不可能整除（ aX1 - aX2 ），也就是说不存在aX1≡aX2（mod n）。

归纳法：对于任意的与n互质的Xi均成立。故得证。

　那么因为有 φn 个这样的数，Xi mod n（i=1~φn）所以就有 φn 个不同的余数，并且都是模数自然是（0~n-1）。

（2）对于任意的aXi（mod n）都与n互质。

这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，Xi是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。

所以如果 a*Xi 做为分子，n做为分母，那么

他们构成的显然就是一个最简分数，也就是aXi和n互质。

接下来就可以用欧几里得算法：

因为：gcd（aXi，n）==1

所以：gcd（aXi，n）== gcd（n，aXi%n）== 1

切入正题

这样，我们把上面两个性质结合一下来说，aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）构成了一个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互质的所有数构成的集合（性质1已说明）。

这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）}

经过一定的排序后和集合{ X1，X2 ...... Xφn }

完全一一对应。

那么：aX1（mod n）* aX2（mod n）* ...... * aXφn（mod n）= X1 * X2 * ...... * Xφn

因此：我们可以写出以下式子：

aX1 * aX2 * ...... * aXφn ≡ X1 * X2 * ...... * Xφn （mod n），即：（aφn -1）X1 * X2 * ...... * Xφn ≡ 0 （mod n）

又因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质，所以，（aφn -1）| n，那么aφn ≡ 1（mod n）。

欧拉定理得证。

欧拉定理的推论：

　　若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有ab≡ab mod φ（n）（mod n）

证明如下：（类似费马小定理的证明）

　　把目标式做一简单变形：ab - b mod φ（n）* ab mod φ（n）≡ ab mod φ（n）（mod n），

所以接下来只需要证明 ab - b mod φ（n）≡ 1 （mod n），

又因为：（ b - b mod φ（n））| φ（n），

不妨设：（ b - b mod φ（n））= q*φ（n）（q为自然数），

则有aq*φ（n）== （aq）φ（n），

因为a，n互质，那么（aq）与n也互质，

那么就转换到了欧拉定理：（aq）φ（n）≡ 1 （mod n），成立。

所以我们这个推论成立。

不过，这个推论能干嘛呢？？？

这个推论可以帮助我们在求幂运算的时候缩小数据范围和计算次数。

具体的说：在求乘方运算时，可以先把底数对mod取模，再把指数对b mod φ（n）取模。

特别的，如果a，mod不互质，且b>φ（n）时，ab ≡ ab mod φ（n）+ φ（n）（mod n）。

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