疯子的算法总结(九) 图论中的矩阵应用 Part 1 POJ3613 Cow Relays

图的存储有邻接矩阵，那么他就具备一些矩阵的性质，设有一个图的demo[100][100];那么demo[M][N]就是M—>N的距离，若经过一次松弛操作demo[M][N]=demo[M][K]+demo[K][N],即为demo[M][N]经过了两条条边的最小距离，floyd是 demo[M][N]=Min(demo[M][K]+demo[K][N]，demo[M][N]）,有可能两点之间直接距离最短，不经过第三边，那我们不考虑不经过两点之间的情况，那么demo[M][N]等于 demo[M][K]+demo[K][N] 枚举K的最小值，于是出现了一类问题，叫做两点之间经过N条边的最短距离，那么类比矩阵乘法，矩阵乘法是求和，我们在这里是求最小值，那么可以改造矩阵乘法得出，不是Floyd，K放在外面和里面没有区别，放外面像是Floyd，放里面就是标准的矩阵乘法，因为这个只用一次，所有对于枚举的状态是等价的。

    for(int k=1; k<=cnt; k++){for(int i=1; i<=cnt; i++){for(int j=1; j<=cnt; j++){c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]);}}}

每做一次类矩阵乘法，就代表将M，N松弛后多一条经过边，那么经过T次松弛后就会得到N，M经过T条边的最短距离，既然是类矩阵乘法，是不是遵循结合律呢？答案是的。对于矩阵 $demo^T*demo^W$ ,前面是经过T条边的最小值，后边是经过W条边的最小值，想乘代表经过了T+W条边的最小值，因为每进行一次都是插入一个点，即使点重复，那么他也会有环形出现，但还是经过了T+W条边，如此，我们可以利用矩阵快速幂求解其经过N条边之后的最小值，那么我们会发现矩阵跟图的是密不可分，一定还会有其他的特点去等待发现，它还可以用于求解图的生成树问题，下次更新。

本思想可以解决POJ3613，好像现在题没了，给一个网站https://www.acwing.com/problem/content/347/，代码附在下方。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define Swap(a,b) a^=b^=a^=b
#define cini(n) scanf("%d",&n)
#define cinl(n) scanf("%lld",&n)
#define cinc(n) scanf("%c",&n)
#define cins(s) scanf("%s",s)
#define coui(n) printf("%d",n)
#define couc(n) printf("%c",n)
#define coul(n) printf("%lld",n)
#define speed ios_base::sync_with_stdio(0)
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define Min(a,b) a<b?a:b
#define mem(n,x) memset(n,x,sizeof(n))
#define INF  0x3f3f3f3f
#define maxn  100010
#define esp  1e-9
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
const int N=300;
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
int a[N][N],temp[N][N],ans[N][N];
int used[10*N];
int p[10*N];
void floyed(int a[][N],int b[][N],int c[][N],int cnt)
{for(int k=1; k<=cnt; k++){for(int i=1; i<=cnt; i++){for(int j=1; j<=cnt; j++){c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]);}}}
}
void copy(int n,int a[][N],int b[][N])
{for(int i=0; i<=n; i++)for(int j=0; j<=n; j++)a[i][j]=b[i][j],b[i][j]=INF;
}
int solve(int s,int t,int n,int cnt)
{while(n){if(n&1){floyed(ans,a,temp,cnt);copy(cnt,ans,temp);}floyed(a,a,temp,cnt);copy(cnt,a,temp);n>>=1;}return ans[s][t];
}
int main()
{int n,t,S,E;scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&S,&E);int u,v,w;int cnt=0;mem(ans,0x3f);mem(temp,0x3f);mem(a,0x3f);for(int i=0; i<t; i++){scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);if(!used[u]){used[u]=1;p[u]=++cnt;a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=0;}if(!used[v]){used[v]=1;p[v]=++cnt;a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=0;}a[p[u]][p[v]]=a[p[v]][p[u]]=w;}printf("%d\n",solve(p[S],p[E],n,cnt));return 0;
}

这个题的边不连续，要先离散化。

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